수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 34일차
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아래는 오늘 문제인 수특 수2 100p Level3 1번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
문제는 간단한데 알아두면 좋을 내용들이 좀 있습니다.
① 삼차함수 비율 관계
삼차함수에 접선을 그으면 접점 하나와 다른 교점 하나가 생기죠.
평행한 두 접선을 그으면 접점 2개, 교점 2개 해서 총 4개의 점이 생깁니다.
이때 두 접점의 중점을 찍으면 삼차함수 위의 점이 되고 이 점에 대하여 삼차함수가 점대칭입니다.
(미적분을 배운 학생이라면 이 점이 삼차함수의 변곡점이 됩니다.)
이 5개의 점이 x좌표가 등차수열을 이루어 모두 같은 간격이 됩니다.
보통 접점~접점, 접점~교점의 x좌표 간격으로 2:1로 많이 외우죠.
② 차함수 해석
두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프로 둘러싸인 넓이는
두 함수를 빼서 만든 함수 h(x)=f(x)-g(x)와 x축 사이의 넓이와 같습니다.
③ 삼차함수 넓이 공식
삼차함수 f(x)와 직선 g(x)에 대하여 f(x)=g(x)가 x=α(중근), β를 실근으로 갖는다면
삼차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이는 |a|/12×(β-α)^4입니다.(a는 f(x)의 최고차항의 계수)
오늘 문제를 볼게요.
f'(x)이 2차 g'(x)이 1차이므로
f(x), g(x)는 각각 3차, 2차입니다.
y=f(x)와 y=g(x)가 서로 다른 두 점에서 만난다는 것은
차함수 h(x)=f(x)-g(x)가 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다는 것이고
이는 x축이 극댓값이나 극솟값을 지난다는 것이죠.
h'(x)=(3x+1)(x-1)이므로 x=-1/3에서 극댓값, x=1에서 극솟값을 가져요.
그런데 h(0)=f(0)-g(0)＞0이므로 극솟값 h(1)=0임을 알 수 있습니다.
여기서 2:1 비율 관계를 생각하면 h(x)=0이 되는 x값이 -1임을 알 수 있고요.
따라서 y=f(x), y=g(x)로 둘러싸인 넓이는
차함수 h(x)와 x축 사이의 넓이를 구하면 되므로
[-1, 1]에서 h(x)를 적분하면 됩니다.
직접 적분해도 되고 삼차함수 넓이 공식을 알고 계시다면
중근과 근의 차인 (1-(-1))^4을 12로 나누고 최고차항 계수의 절댓값을 곱하여 4/3을 정답으로 써주시면 됩니다.
아래는 관련 기출인 2020년 7월 교육청 모의고사(나형) 20번입니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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