-수II, [미소변화율을 논함]
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바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다!
*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다 :D
(킬러배제가 이행된 어떤 가능세계입니다)
22번. k = a -b루트c 일 때, a+b+c의 값을 구하시오. [4점]
다 정하셨나요?
제가 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면
"허접 허접한 EBS 문제니 딱 봐도 계산 파티겠군요, 연립해서 근을 찾고, 구간 나눠서 두 번 적분해서 k에 대한 함수로 나타내고 넓이함수를 미분하면 되겠군요!"
위 풀이가 아마 출제자가 의도한 풀이가 아닐까 추측됩니다 수능완성 유형편에 실려있던 본 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.
역시 계산은 좀 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.
그치만 이 문항은 23년 6월 모평 20번 문항 이후 출시된 수완이기에 풀고 나서 뭔가 쎄함을 느끼게 되더군요
바로 k를 미세하게 움직임에 따라, 변하는 넓이의 미소변화를 시각적으로 나타낼 수 있지 않을까요?
다시 22번 문제에서 k값을 조금씩 키워가며 관찰하겠습니다.
이때 첫번째 넓이부분을 A, 두번째 넓이부분을 B라 하겠습니다
이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.
->
Y=kx를 진짜 엄청 미세하게 위로 움직임에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. *파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라고 하겠습니다.
(원의 넓이를 미분하면 원의 둘레가 나오는 것과 비슷한 맥락입니다. )
Y=kx가 위로 움직인다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 여전히 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 감소할 것 입니다.
언제가 넓이함수의 증감이 바뀌는 지점일까요?
dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA=dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요
즉 넓이함수의 극소는 dA = dB일 때겠군요.
넓이 비가 1:1일때 , dA의 넓이 : dA+dB의 넓이가 1:2
작은 삼각형 : 큰 삼각형은 1:2 이고, 길이비는 1:루트2 이므로 C, D의 x좌표 비가 1:루트2 임을 알 수 있고, 세 점이 한직선에 놓임을 기울기 동일하다는 식으로 추출함으로써 k를 쉽게 구할 수 있습니다.
Solution)
(23년 수능에 나올 줄 알고 엄청 팠었네요 ㅎ..)
한 변수를 미세하게 움직이며 넓이의 증가량, 변화량을 직관적으로 비교하는것, 이것이 넓이의 미소변화율을 다루는 핵심입니다.
문항에 따라 넓이의 미소변화량의 생김새가 함숫값(23.06.20), 함숫값을 세로로 하는 직사각형(예전 나형 어딘가), 삼각형, x축과 평행한 선분(드*워크북), 원의 일부(기하 평벡n제 어디선가)등 다양한 형태이기에 직접 움직이면서 상황에 맞게 관찰하는게 좋습니다.
위 내용과 더불어 피카르드 수렴정리, 로피탈 등 고급지식을 전수해주신 고3 담임쌤이 새삼 대단해 보이는군요..
긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D
반응이 좋으면 23.06.20등도 미소변화율 풀이로 올려보겠습니다!
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진짜 건실하게 산다
천천히 읽어보시면 꼭 도움될 내용일거에요 :)
이제 수능은 더 이상 안봐서..와 이거 대박이네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅌㅋㅋㅋㅋㅋ
칼을 간 칼럼인데 묻히면.. 좀 슬플지도요
지금 보니 이륙했네여 축하해여 ㅎㅎ(대충 이궈궈던 ~ 콘)
[망해]
그것이 옳을까?미소녀를 논함 ㄷㄷ
이게 맞다
좋아요 누르고가용
연쌤은 수학선생님도 엄청 잘 어울려요
응원 정말로 감사드려요 선생님 :)
감사합니다..!
저야말로 읽어주셔서 정말 감사드려요넓이비 1:2를 찾는다길래 엥 넓이 같아야 한단 거 아니었나...? 착각해서 계속보고 있었네 ㅋㅋㅋㅋㅜㅜㅜ
맛있네요 이거
선생님 읽어주셔서 정말 감사드려요 :)좋은 평가를 받으니 기분이 좋네요
글만큼 약연쌤도 맛있을것같아요!!!
오타 맛 -> 멋이죠..?
오타 아닐걸용..
이해 못 했는데 멋있어서 좋아요 눌러드려요
앗..! 저 아이디어는 미적분 선택자시라면, 구분구적법을 생각하시면 되어요!
조금 고민하더라도 얻어가면 정말 이로운 내용일 거에요 :)
응원 감사드려요 선생님!
선생님 혹시 근데 볼트체는 이해했는데 1:2는 어떻게 나온 건가요??이해가 어려워서
아 1:1 인데, 통으로 봐서 1:2로 본거에요..!
오해의 여지가 있으니 수정하겠습니다
*넓이 비가 1:1일때 , 작은 삼각형 : 큰 삼각형은 1:2 이고*로 추가했어요!
죄송한데 넓이비가 1:1이면 삼각형의 넓이 비가 1:2가 되는 이유를 알수 있을까요,?
dA의 넓이 : dA+dB의 넓이가 1:2라는 뜻이었는데.. 제가 국어를 좀 못하는군요.. ㅠㅠ
조금 더 수정해보겠습니다
이 이해했음요,.공통부분합으로 1:1하면 되는데 그걸 못찾아서 30분동안
제가 국어를 못해서 그렇네요 ㅠㅠ 죄송합니다
이런 느낌!
그림 설명 정말 감사드립니다 선생님!!ㄹㅇ
어렵고 멋지네요
도움이 되었다면 저야말로 감사드려요!
함수가 아닌ㄷ
권경수가 가르쳐줬었는데..
백가인의 개인교습
(100점 이모티콘)
저는 고3때 수II쌤이 이런거 많이 알려주셔서 정말 배우면서 신기했던 기억이 나네요..!
저도 경수쌤 기하는 꼭 들어보고 싶었는데 아쉽게도 기하 강의는 안하시더군요.. ㅠ
상반기에 특강식으로 열었었아요 ㅠㅠ
아앗..상반기엔 제가 학교에 있었어서
오
읽어주셔서 감사합니다 선생님 :D
넓이 변화가 축에 수직일때 넓이함수의 변화율을 길이로 볼 수 있는건 알고 있었는데,저 문제에서처럼 기울기가 변함에 따라 넓이 변화가 생길 때 넓이 함수의 변화율을 삼각형으로 간단하게 생각할 수 있는지는 몰랐네요. 좋은글 감사합니다!!
도움이 되었다니 저야말로 감사드려요 :)
저도 이 문제 정말 신기해서 스크랩 해 둔 기억이 나네요 ㅎㅎ
선추후감
감사드려요 선생님 :)오호라,,,이래야 수학을 자ㅏㄹ하는거군,,,
전 아직 배울 점 많은 반실수에요마지막 처리가 이해가 진짜 하나도 안 되네 내일 정리해서 질문해야겠다
고민하시고 언제든지 질문 주세요!
저런 거는 기본이죠 ㅋ
오 어렴풋이 머릿속어 있던 내용인데 선생님 덕분에 확실히 알고 갑니다
도움이 되었다니 저야말로 영광입니다 선생님 :D이미 알고읶지만 개추
비슷한데 다른거 대칭성까지 쓰는 좋은 문제
헉 이런 문제도 있었군요..!감사합니다 선생님
쉠 근데 궁금한게, da=db 인 지점이 극소라는것까진 이해했는데,
그러면 c가 d랑 원점의 중점이어야 da=db 아닌가요
아마 제가 이해를 못한거같은데 삼각형 넓이가 갑자기 왜나오는건가요
저도 이게 궁금했음요
역시 현역 동지..
만약 x축에 평행한 직선 y=k라면 선생님 말처럼 1차원 길이로 미소변화율이 측정되지만,
Y=kx의 경우 항상 0,0을 지나면서 2차원적으로 움직이기에, 1차원적 길이로는 넓이 변화를 모두 포괄하지 못하게 됩니다!
dA 부분이 고정점 0,0에 가까워 k가 움직임에 따라 조금, dB는 고정점에서 멀어 많이 변하는 것 처럼요
아하 배운적은없지만 먼말인지는 이해햇어여
넓이 미분값이 길이니까 길이가 서로같을때 넓이가 최소란소리죠?? ㄷㄷ 저거 생 노가다했었는데 유익하네요
미소변화율이 길이일때도, 넓이일때도 있어 조금은 주의가 필요하지만, 전체적으로는 맞아요!
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요 :D
캬
이궈궈던 ~
나는 이홍에게 이렇게 말했다. “너는 f(x)의 실근이 한 개라고 생각하느냐? f(x)의 실근은 한 개가 아니다. 너는 f(x)의 실근이 한 개가 아니기를 바라느냐? f(x)의 실근이 두개나 세 개가 아닌 것은 아니다. 그렇다면 f(x)의 실근이 두개나 세 개이고, 도리어 f(x)의 실근이 한 개가 아니라는 말은 무슨 근거로 할까? 함수 f(x)에 대하여 f(k-1)f(k+1)<0을 만족시키는 정수 k가 존재하지 않는다는 데서 연유한다.
f(x)의 실근이 한 개라고 생각하는 사람에게는 f(x)의 실근이 한 개라고 치자. 그렇다면 f(x)의 실근이 한 개이지만 f(t)f(t+2)<0인 정수 t가 존재하지 않는 f(x)가 존재한다고 할 수 있다.
그 말이 옳을까? 따라서, f(x)의 실근은 어디서 나오겠느냐? f(x)가 감소하는 구간에서 한 개, 증가하는 구간에서 두 개가 나온다. f(x)가 구간 (-1/4, 1/4)에서 증가하지 못하고, 그 뒤로는 감소하지 못하며, f(x)는 x=0에서 정수 근을 안 가지지 못하며, 구간 (0,1/4)에서 증가하지 못한다.
구간(0,1/4)에서 감소하므로 x>0인 실근이 안 존재하지 못하고, 연속되지 않은 정수 근을 갖지 못하며, f(1)의 값이 0보다 작거나 같지 못하면, f(-1) 또한 0보다 작지 못한다.
x=-1에서 정수 근을 안 가지지 못하고, f'(-1/4)=-1/4과 f(1/4)<0을 동시에 만족시키는 f(x)가 존재하지 못한다. 그래서 f(1)의 값이 0보다 작거나 같지 못한 f(x)가 되면, 어버이에게는 효심을 잊어버리고, 임금에게는 충성심을 잊어버리며, 부모를 잃고서는 슬픔을 잊어버리고, 제사를 지내면서 정성스러운 마음을 잊어버린다. 물건을 주고받을 때 의로움을 잊고, 나아가고 물러날 때 예의를 잊으며, 낮은 지위에 있으면서 제 분수를 잊고, 이해의 갈림길에서 지켜야 할 도리를 잊는다.
f(1)가 0보다 작거나 같다면, f(1)의 값은 0이 될 수밖에 없다. f(x)의 식이 x(x-미정(未定))(x-1)이 되며, 未定의 값은 -1이상이고 1 이하이다. 未定이 0 이상이라면 f’(-1/4)의 값이 0보다 작을 수 없게 되고, f’(-1/4)의 값이 0보다 작을 수 없기 때문에 문제의 조건을 더더욱 잊는다. 그렇기 때문에 未定의 값이 -1 이상 0 이하이게 되고, f’(-1/4)의 값이 -1/4이 되고, 남들이 풀지 못해 질시의 눈길을 보내며, 귀신이 풀지 못해 재앙을 내린다.
그러므로 f(x)의 근이 0과 1 그리고 未定인 근 하나라는 것을 아는 사람은 f(x)의 일반식을 x(x-未定)(x-1)으로 세울 능력이 있다. f(x)의 일반식을 x(x-未定)(x-1)으로 세우는 사람은, f’(-1/4)=-1/4에서 未定의 값을 -5/8으로 구하고 f(8)의 값을 483으로 안 도출해내지 않는다.” - 유한준
제목보고 생각난 거..
앜ㅋㅋㅋㅋ 이겈ㅋㅋㅋㅋ물 마시다가 뿜었네요
2023 6모였나 9모였나 20번 이렇게 시험장에서 풀었던 기억이 있네요 그땐 느낌대로 했었는데 원리?를 알게되니까 좋네요 ㅋㅋ
맞아요! 23.06.20도 같은 원리랍니다!도움이 되었다니 저야말로 기뻐요 :D
앗 6모 20도 글에서 언급하셨었네요;;
빠르게 보다가 놓쳤네요 쩝
좋은글 잘보고갑니다~
옛 교육청 30번으로 나왔던거 미적에 자주나오는데
수투에도 이렇게 나올수 잇군뇨...
맞아요! 물II에서도 케플러 2법칙인가..? 거기서 미소넓이 이야기가 있던것 같은데.. 암튼 자주 쓰이는 논리더라고요이런 미소변화율 쓰는 문제가 은근히 재밌죠 ㅋㅋ
개인적으로 마음에 드는 문제 유형이라고 생각합니다
(100점 이모티콘)전적으로 선생님 의견에 동의합니다 !!
수2기출에도 이런식으로 접근하면 빨리풀리는 킬?러가 있었죠저건 알아두면 좋은듯해요
아 일반4점이엿나 기억이…
23.06.20, 나형 언젠가.. 이차함수 뒤집힌거 있어요
처음 볼 때 생각을 하긴 했는데 결국 답까지 도출하지 못하고 계산풀이로 했네요.. 이런 풀이 해 본 경험은 다들 있어도 정리가 안되면 결국 자유롭게 구사하지 못하고 그때그때의 운?인데 이런 글 좋네요
도움이 되었다니 저야말로 기쁘군요!더 좋은 글로 찾아뵙겠습니다
ㄷㄷㄷㄷ
|f(x)-f(k)|의 부정적분 문제에서 넓이의 최대/최소를 만드는 k를 찾을 때에도 비슷한 관점을 쓸 수 있더라고요
k에 따라 변하는 면적의 밑변? 길이를 변화율로 생각하면 좀 직관적으로 보입니다
맞아요! 선생님 말씀처럼 다양한 상황에 응용 가능한 점이 매력이죠!저는 보자마자 넓이 공식이 생각났네요
이제 넓이의 변화는 미소 변화율의 관점도 보아야겠군요. 감사합니다.
(100점 이모티콘)
헉..! 넓이함수를 직접 호출할땐 선생님 방법이 더 효과적인 것 같아요!
좋은 풀이 공유 감사드려요 :D
진짜 알아두면 편한 내용!
헉 누추한 곳에 귀하신 분이..!
헉 개인적으로 좋아하는 내용이라...정말 잘 읽었어요!
서울시 교육청이 가형시절이나 미적 30번에서 우려먹던 소재네요 ㅋㅋㅋ
맨날 혐육청 하면서 넘어갔는데 이참에 기억해놔야겠어요 감사합니다
저야말로 감사드려요 선생님 !
와 진짜 감사합니다 도움엄청되었어요 40분째본 칼럼은 이게첨이네요 진짜 고맙습니다
정말 감사드려요 선생님 :D이거 드릴1 수2에 있었는데 드릴드 만들면서 사라진 문제 있어요 ㅋㅋㅋ
개어려웠는데
제가 생각하는 그 문제가 맞나 모르겠네요그 이차함수 축이랑 서서히 만나가는 문제였나요..? 기억이 잘 안나네요
알지오매스 인가요 ㄷㄷ
지오지브라 그래픽 계산기에요 !
오래 써서 그런지 이게 전 제일 편하더군요
이가 미적분 선택자만 이해가능한건가요??
전 기하 선택자인데 괜찮아요!심지어 저 문제 원본은 나형이랑 공통수학에도 있어요
가형 틀딱시절 아이디어네
요새 이거 안 가르치나요
요즘은 잘 안가르치뎌군요... 문제도 적고기울기 말고 그냥 2-k:2+k = 1:root(2) 로 하면 안되나요?
이게 맞네요역시ㅠ전 수학 허접입니다
기하 100 ㄹㅈㄷㄱㅁ
기하 100은 미적으로 환산하면 92점입니다 (실제)개쩐다
변화량을 부채꼴로 해석하고 각이랑 1/2는 식에 공통으로 들어갈테니 무시하면 EC^2=ED^2-EC^2
따라서 2EC^2=ED^2, sqrt(2)EC=ED라고 생각할 수도 있을 것 같습니다
부채꼴로도 볼 수 있군요!!
새로운 시각 제시해주셔서 감사드려요 선생님! :D
찾아보니 이런 게 있네요...
굉장히 잘 읽었습니다:) 직관적으로 들었던 호기심이었는데 마침 잘 설명해주셔서 배워갑니다
저야말로 도움이 되었다니 기쁘네요!
감사합니다 선생님 :)
저 dA dB 부분 그림 보니 극좌표에서의 적분이 생각나네요 ㅋㅋㅋㅋ 바로 위 댓글에도 어떤 의뱃 분이 남겨주셨군요
저는 공식 해설대로 아래와 같이 풀었습니다!
[문제 처음 봤을 때 사고과정]
1. 절댓값이 씌워져 있으니 구간 별로 나누어 식을 작성
2. '그림과 같이'라고 했으니 두 함수 그래프의 교점의 x좌표를 작은 것부터 크기 순으로 0, alpha, beta라 설정. 이때 -(alpha)^2+2(alpha)=k(alpha)와 (beta)^2-2(beta)=k(beta)를 작성해두고
3. 두 부분의 넓이의 합은 구간 [0, alpha]에서 -x^2+2x-kx를 적분한 값과 구간 [alpha, 2]에서 kx-(-x^2+2x)를 적분한 값과 구간 [2, beta]에서 x^2-2x-kx를 적분한 값의 합과 같고
4. 계산해서 정리해주면 alpha=-k+2이고 beta=k+2임을 이용해서 -k^3/6+3k^2-2k+4/3을 얻을 수 있음
5. 그림에 따르면 k는 양의 실수이니 얻은 식을 k에 대해 미분해주면 k=6-4루트2 일 때 극소를 갖게 됨. 선지 대충 볼 때 맞는 듯하니 답을 체크
6. 두 그래프가 세 교점을 지니려면 k가 2보다 작아야 함. 6-4루트2<2<6+4루트2 이니 k=2일 때 넓이가 최소가 될 경우의 수는 고려할 필요가 없음을 확인
그런데 2023학년도 6월 20번을 미적분학의 기본 정리로 수식으로 풀어내는 것이 아닌 "약간씩 움직여가며 넓이 변화를 직관적으로 관찰한다"에 초점을 두고 바라보니...
2024학년도 수능 미적 28번과 확통 30번도 전자는 t값을 조금씩 변화시킬 때 g(t)값 변화에 따른 h(t)값 변화 관찰을, 후자는 t값을 조금씩 변화시킬 때 P값 변화 관찰을 중심으로 하는 풀이를 염두에 두고 출제했나 하는 생각이 드네요!! 기출 분석 더 열심히 해야겠습니다, 좋은 글 감사드립니다 선생님
아우.. 저야말로 읽어주셔서 정말 감사합니다
선생님 글 잘 읽고 있어요!
특히 22번 수식풀이 칼럼은 저도 따라서 여러번 풀어봤네요. :)
저렇게 미소변화 관찰하는 아이디어가 유용하게 쓰일 수 있는 문항이 나오는거 보면 선생님 말씀처럼 교수님들이 의도한 풀이방향이 아닐까 생각됩니다 :D
171130(가)
230620
231122
240628(미)
241130(확)
241128(미)
3문항을 더해 위 6개 문항 모두 "수식보다 그림 통한 관찰로 직관적인 상황 이해"가 더 도움이 될 수 있다고 설명할 수 있겠다 하는 생각이 들었습니다! 231122 수식풀이는 어떤 의대생 분께 배운 것을 가지고 정리만 해본 것이었는데 저도 참 신기해서 한동한 반복해 과정을 작성해보던 기억이 있네요 ㅋㅋㅋㅋ
안녕하세요.
혹시 이 풀이에 대한 수학적 분석글을
오르비에 올려도 될까요?
저야말로 영광이에요 선생님올렸습니다.
잘 읽었습니다! 명쾌한 분석 감사합니다 선생님 :)미소변화율을 관찰하는거라 da, da+db가 삼각형에 근사되는건가요..?
그냥 딱 도형을 봤을땐 뭐 이름없는 도형같은데 닮음비 1:2쓰신부분이 잘 이해 안가요!
위에 Central Dogma 님께서 말씀하신 것 처럼 부채꼴로 근사하는것도 방법이며, 이름없는 도형을 Solution 사진에 있는것 처럼 닮음삼각형으로 근사했습니다! (K가 아주 조금 미세하게 위로 올라가면 각이 아주 작은 부채꼴, or 삼각형 모양이 나와서요!)
저런 비슷한 방식으로 푸는걸 축과 평행한 직선이 움직일때 넓이비교를 길이에 근사해서 푸는거는 잘 써왔는데 악연님 방식으로 '넓이' 그자체를 분석하는거로 바라보면 모든 상황에 적용이 가능한건가요?
좋은 관점 배워갑니다 수능에 써먹을수 있으면 좋겠네요
문제의 발문이 넓이, 적분값이라면 넓이함수의 미소변화율을 관찰하는 것과 직접 함수를 구해 미분하는것이 동등합니다 , 다만 어디까지나 근사를 하는 과정이 들어가게 되므로 명확한 넓이 값을 구할 수는 없어요. 선생님께 도움이 되었다니 저야말로 기뻐요 :)
감사합니다ㅎㅎ잘 읽었습니다만 “Y=kx가 위로 움직인다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 여전히 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크다는것“ 을 어떻게 알 수 있나요? 그리고 이것을 통해 넓이 함수가 감소인것을 어떻게 알 수 있나요? ㅠㅠ
dA와 dB의 넓이는 닮음삼각형, 혹은 부채꼴로 근사하여 (빨간,파란 형광펜 부분) 넓이를 비교한 것이고, 총 넓이함수를 밑빠진 독에 물붓는거에 비유하자면 감소량 dA는 물이 빠지는 양, 증가량 dB는 물이 늘어나는 양인데 dA>dB면 항아리(넓이함수)속 물 양은 감소합니다! :)
아아아주깔짝이해했는데하나배워갑니다저야말로 도움이 되었다면 기쁘네요 :)