성적과 통계학 (1)
게시글 주소: https://ys.orbi.kr/00067993601
평균이 50점이고 표준편차가 20점인 시험이 있다고 합시다.
그렇다면 이 시험에서 70점을 받은 학생은 일반적으로 3등급 후반이 된다는 사실을 아시나요?
이 시험에서 85점을 받으면 웬만하면 1등급이 됩니다. 물론 다 된다는건 아니고, 안되는 특이 케이스도 있기는 하지만 대부분은 1등급이 됩니다.
오늘은 이런 이야기를 한 번 해보려고 합니다.
수능이나 모의고사에서 표준점수는 응시자들의 성적을 적절하게 조작해서 평균과 표준편차를 일정하게 맞춘 점수입니다.
원점수가 100점 만점인 국어, 수학에서는 응시자들의 표준점수 평균이 100점, 표준편차가 20점이 되도록 맞추고,
원점수가 50점 만점인 탐구에서는 응시자들의 표준점수 평균이 50점, 표준편차가 10점이 되도록 맞춥니다.
표준점수의 평균이 100점이고 표준편차가 20점인 국어, 수학에서
표준점수가 100점이라는 것은 어떤 의미일까요? 표준점수의 평균이 100점이라고 했으니 그냥 딱 평균만큼 받았다는 의미입니다.
그렇다면 표준점수가 120점이라는 것은 어떤 의미일까요? 평균보다 1표준편차만큼 잘 봤다는 의미가 됩니다. 평균이 100점, 표준편차가 20점이니까 (평균) + 1×(표준편차)를 하면 딱 120이 되죠
마찬가지로 표준점수가 140점이면 평균보다 2표준편차만큼 잘 봤다는 의미가 되고
표준점수가 130점이면 평균보다 1.5표준편차만큼 잘 봤다는 의미가 됩니다.
이렇게 평균보다 몇 표준편차만큼 잘(못) 봤는지를 따지는게 이번 글 내용의 핵심이라고 할 수 있습니다.
그렇다면 이걸 왜 따지느냐? 이걸 따지면 나의 상대적 위치를 예측해볼 수 있기 때문입니다.
국어나 수학에서 표준점수 100점이면, 그러니까 딱 평균만큼 받았으면 몇 등급이 나올거라고 예상하시나요?
사실 이건 너무 쉽죠. 평균이라고 하면 보통 가운데 등급인 5등급이 연상되잖아요?
실제로 국어나 수학에서 표준점수 100점을 받으면 5등급이 나옵니다.
탐구에서도 마찬가지로 표준점수 50점을 받으면 일반적으로 5등급이 나옵니다.
그러면 처음에 소개했던 것처럼, 평균보다 1표준편차만큼 잘 본 경우에도 등급을 예측할 수 있을까요? 그러니까 국어나 수학에서는 표준점수가 120점, 탐구에서는 표준점수가 60점이라면 보통 몇 등급인지 예측할 수 있을까요?
복잡하게 생각할 것 없이 과거 사례들을 찾아보면 답이 나옵니다.
국어, 수학에서 표준점수 3등급컷은 보통 116 ~ 118에서 형성되는 경향이 있습니다. 작년 뿐만 아니라 그 전년도를 찾아봐도 마찬가지입니다. 3등급컷이 높게 나오면 119까지도 올라가긴 하지만 120을 넘어가는 시험은 거의 찾아보기 어렵습니다. 따라서 표준점수 120점이 나오면 매우 높은 확률로 3등급이 된다는 사실을 알 수 있습니다.
탐구 같은 경우에도 표준점수 60점이면 웬만하면 3등급이 됩니다. 그렇다고 모두 3등급이 된다는건 아니고, 다음과 같이 4등급으로 떨어지는 경우도 있습니다.
이거는 성적 분포 양상에 따라 차이가 있어서 그렇습니다. 평균보다 1표준편차만큼 잘 보면 무조건 3등급이 된다는 절대적인 법칙은 없어요. 하지만 작년 수능의 경우, 한국지리를 제외하면 표준점수 60점이면 모두 3등급이 되었습니다. 따라서 100%는 아니지만, 탐구 표준점수 60점도 높은 확률로 3등급이 된다는 사실을 알 수 있죠.
그렇다면 혹시 내신에서도, 평균과 표준편차만 가지고 나의 상대적인 위치를 파악할 수 있지 않을까요? 오늘 그걸 알아보기 위해 제가 대략 코딩을 해왔습니다.
먼저, 실제 내신 시험처럼 학생 수를 250명으로 가정하였습니다.
그리고 0부터 100까지의 정수를 학생 수만큼 랜덤으로 추출합니다. 학생 수가 250명이니까 250개를 추출하게 되겠군요. 이때 추출된 숫자가 각 학생의 시험 점수가 됩니다.
그리고 추출된 250개 점수의 평균과 표준편차를 구해서, (평균)+z×(표준편차)에 해당하는 학생이 몇 등급에 속하는지를 기록합니다. 이 과정을 10,000번 반복해서 최종적으로 이 학생이 몇 등급에 속할 확률이 가장 높은지 따져보는 것입니다.
먼저 z=0으로 했을 때의 결과입니다. 딱 평균만큼 받았을 때죠. (국어 수학 표준점수 100점, 탐구 표준점수 50점에 해당)
반복 횟수 10,000번에 대해서 10,000번 모두 5등급이 나왔습니다(등급 분포 양상의 왼쪽부터 1등급이 나온 횟수, 2등급이 나온 횟수, ...로 읽으시면 됩니다.). 평균적으로 상위 49.95%로 딱 중간 위치를 차지하고 있다는 것을 알 수 있네요
이번에는 z=1로 해보겠습니다.
예를 들어 원점수 평균이 52점이고 표준편차가 23점인 시험이 있다면, 52+23=75점을 받은 학생은 보통 몇 등급에 속하는지를 알아보려고 합니다. (국어 수학 표준점수 120점, 탐구 표준점수 60점에 해당)
반복 횟수 10,000번에 대해서 3등급이 나온 횟수는 9,183회이고, 4등급이 나온 횟수는 817회입니다.
그러니까 대부분은 3등급이 나오는데 운이 나쁘면 4등급으로 떨어질 수도 있는 것이네요
이렇게 z값을 변경시켜가며 각 z에 대해 응시자들의 등급이 어디에 해당할지 몇 가지 살펴봤습니다.
z=1.2일 때 (국어 수학 표준점수 124점, 탐구 표준점수 62점에 해당)
ex) 원점수 평균 52점, 표준편차 23점일 때, 52+1.2×23=79.6점은 보통 몇 등급에 해당되는가?
3등급일 확률이 가장 높다!
z=1.5일 때 (국어 수학 표준점수 130점, 탐구 표준점수 65점에 해당)
ex) 원점수 평균 52점, 표준편차 23점일 때, 52+1.5×23=86.5점은 보통 몇 등급에 해당되는가?
2등급일 확률이 가장 높다!
z=1.8일 때 (국어 수학 표준점수 136점, 탐구 표준점수 68점에 해당)
ex) 원점수 평균 52점, 표준편차 23점일 때, 52+1.8×23=93.4점은 보통 몇 등급에 해당되는가?
1등급일 확률이 가장 높다!
z=0.5일 때 (국어 수학 표준점수 110점, 탐구 표준점수 55점에 해당)
ex) 원점수 평균 52점, 표준편차 23점일 때, 52+0.5×23=63.5점은 보통 몇 등급에 해당되는가?
4등급일 확률이 가장 높다!
결과 자체는 꽤 일리 있어 보이게 나왔습니다.
그런데 사실 이렇게 점수를 완전 랜덤으로 추출하면 별로 마음에 들지 않는 분포가 나옵니다.
뭐가 마음에 들지 않을까요?
점수를 완전히 랜덤으로 추출했다는 것은, 0부터 100까지의 숫자가 나올 확률이 1/101씩으로 완전 동일하다는 의미입니다.
그러니까 거의
90점대 인원 = 80점대 인원 = 70점대 인원 = ... = 10점대 인원 = 한 자리수 인원
꼴로 인원 분포가 나온다는 것입니다.
그런데 이는 현실적인 성적 분포와 좀 동떨어져 있죠
보통 성적 분포라고 하면 90점대 인원보다 80점대 인원이 조금 더 많고, 80점대보다 70점대가 조금 더 많은 분포를 생각하지, 저렇게 각 점수대별 인원이 다 똑같을 거라고 생각하진 않죠.
실제로 저렇게 추출하면 표준편차가 거의 28~30으로 나오는데, 이것도 현실의 표준편차와 많이 동떨어져 있다고 할 수 있습니다.
따라서 다음 편에서는 확률 분포를 직접 커스터마이징해서 등급 분포 양상을 구해보도록 하겠습니다.
감사합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
포항공대 1기(87학번) 입학점수와 설연고 점수비교 1
87학번 점수비교입니다. 학력고사는 340점 만점입니다. 커트라인이 아니라...
-
삼성그룹 계열사 사장단 인사에서 알 수 있는 사실... 11
아래는 우리나라 대표적인 기업인 삼성그룹의 2019년도 계열사 사장단 인사...
-
실지원 0
마지막 업뎃때 5칸 추불이였고 표본분석해보니 가능성있을거같아 그냥 넣으려했는데...
-
컴공 과잠인데요 저 네모들이 의미 저 숫자들의 의미...아시는 분 혹 계신가요?
-
독서 활동 1
이공계(특히 화공이나 에너지) 독서 활동 공유해요~~!!!
-
오늘부터 롤 시작함 10
훈수둬보셈
-
학생분 들에게 유용할 듯해서 올립니다. 모의고사 준비에, 주어진 학업에 많이들...
-
이게 명문대 기준인가요 11
이런 소개팅 사이트가 있군요. 그런데 남자들은 가입 조건 제한이 있군요. 웃고 갑니다.
-
http://www.veritas-a.com/news/articleView.html?...
-
http://sciencewar.postech.ac.kr/home/ 우승 트로피는...
-
출처:베리타스알파
-
원래 정시러인데 받아둔 내신이 아까워서 활용하기로 했어여 지방 일반고 이과...
-
내신 1.6인데 현실적으로 포스텍 넣어볼만 한가요? 7
이제 고3올라가는데 이대로 간다고 가정하면 1.6이면 넣어볼만 한가요? 비교과는...
-
대학생 질문받음 8
종강했는데도.. 과제들이 아직 안 끝났어요.. ㅋㅋㅋㅋ 이제 맥주 사와서...
-
포항공대 창의 it 융합 공학과 아시는 분 있나요? 0
지원 전폭적으로 해주 것 같은데 정보기 워낙 없어 가지고... 1.다른 포항공대...
-
카이스트 / 포스텍 합격자 분들 중 특목고 분들 내신 좀 알려주세요 1
학교 진학 쌤은 2~4라고 얼버무리셔서 어느 정도가 되야 1차가 뚫리는지 잘...
-
1차합격 최종합격 32
오오
-
???: 저는 지방에 있는 단과대학을 나왔습니다. 12
????
-
오지네여 ㄷㄷ
-
저희학교에 한의대를 꿈꾸는 친구가 있습니다. 모의고사 볼때마다 백분위가 0.1이상을...
-
2학년 1학기 지금까지 환산이 94점이 넘는데 계절학기를 하나 들은게 있어서 그...
-
여기 카이스트 유니스트 재학생이 계시면 답변을 좀 부탁합니다. 우리나라에서 100%...
-
포스텍 이공계 과학 캠프 내신 어느정도 되야 갈수 있을까요?? 1
학교에서 한명은 선발 될거 같은데 1600명중에 500명을 뽑는다고 하더라구요 내신...
-
삼각함수 잘하는법좀요 (그래프도)
-
새내기 딱지도 떨어지기 전에 과제 폭탄으로 헬이네요. 어차피 각오했지만...
-
의대 안가고 자연계열 희망한다하니까 카이스트나 포스텍 유니스트 지스트 같은곳도...
-
혹시 포공 입자가속기연구소 가본신분있나요 전 여기랑 박태준학술관??포공도서관보고...
-
안녕하세요 오르비에 가입한지 얼마 되지 않은 입시 초짜인데 친구들끼리 이야기하다가...
-
창의IT융합공학과 제 6회 창의캠프 안내드립니다!! 0
안녕하세요, 이제 2016년 새해가 밝았네요. 새해 복 많이 받으시기 바랍니다!...
-
전화기에다가 조선.컴 기타 등등 유명한 학과랑 환경공학과 같은 마이너 학과...
-
포스텍 단톡 3
포스텍 16학번 단톡있습니다.합격자분들 중 참여 원하시는 분든은 저한테 카톡 아이디...
-
제목대로 카이스트랑 포스텍 중에 엄청 매우 많이 고민하고 있습니다저는 비과고생입니다...
-
약 개발/ 질병 연구 하고 싶으면 의대 추천합니다. 26
안녕하세요. 저는 의대 본과 3학년(내년 4학년)이고 제 주변에 SKY 진학을...
-
국어 수학 생1 지1 원점수 79 88 45 45 표점 112 122 75 71 로...
-
오늘까지다!! 하하 5시제출까지 잠을 안 자겠습니다.ㅋㅋㅋㅋ카이스트나 포공 왤케...
-
작년에 과학고 친구가 포항공대 넣었는데 그 자료 보니까 입증자료 같은거 있는데 저는...
-
사실 비교과도 그렇게 막 화려하진 않고 .. 그래도 과고가 많이줄어서 (그게 별...
-
왜 수시원서 기간전에 접수를 미리 받는거지요? 미리내면 이득이 있나요?입학처에...
-
제가 지금 포항공대 준비하고있는데요 화학과 랑 화학공학과중에서 어디가 더 쌘지...
-
기계공학과 기준 포스텍? 카이스트? 의견이 분분하네요. 8
안녕하세요. 일반고 2 학생입니다. 내신은 1.5로 제목의 두 대학에는 좀 떨어지는...
-
대학캠프 자소서 3
2학년때 참가한건데 자기소개서에 참가했다고 써도 되나요? 거기서 활동한거 느낀점...
-
화2러분들 혹시 2
시간 관리 문제당 몇 분씩 해야 되는지 좀ㅠㅠㅠㅠ맨날 시간에 털리고 시간에 죽어나가네요.
-
컴공 전망 안좋은거 알고요우리나라에서 대우 쓰레기에 환경 열악한거 다 압니다대학에서...
-
도전을 좋아하는 대학생 오르비언님들. 시간남을때 멘사회원에 한번 도전해보시는건...
-
학교생활을 절대 적응못해서는 아니고요..내신이 4점떄라쫌 불안한감도 있고 내가...
-
예비 고3인데요 스펙관리는 꾸준히 해놨고 내신도1.2인데 머의는 2~3정도밖에...
-
수시붙고 정시 1
수시에 일반대학에 붙었을 때에도과기원같은 특수대학에 정시모집 군외로 지원가능한가요?
-
궁금하네요.. 467대인 것 같기는 한데..
-
포항공대 일반전형이랑 연세대 기회균등 전형 붙었는데 날짜랑 시간이 겹침둘다...
Sexual & statistics
그 성적 아니고...
개재미따