[박수칠] 함수 y=f(x)와 역함수 y=g(x)의 교점 위치
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오늘은
정말 오랜만에 수학 영역의 직접 출제 범위로 들어온
‘역함수’ 얘길 해볼까 합니다.
물론 직접 출제는 나형 한정이고,
가형에선 여전히 간접 출제 범위죠.
가형을 보는 수험생에게도 도움될만한 얘기니
한 번 읽어보시기 바랍니다 ^^
먼저 ‘역함수’하면 떠오르는 내용부터 정리해볼까요?
(1) 역함수의 존재 조건
함수 y=f(x)가 일대일대응이면 역함수를 갖는다.
일대일대응은
일대일함수면서 공역과 치역이 일치하는 함수다.
일대일함수는
정의역의 각 원소가 공역의 서로 다른 원소에 대응되는 함수다.
일대일함수의 수학적 정의는
' 함수 y=f(x)의 정의역의 임의의 원소 x₁, x₂에 대하여
x₁ ≠ x₂이면 f(x₁) ≠ f(x₂)가 항상 성립한다 ’ 이다.
연속함수 y=f(x)가 ‘일대일함수‘인 것과 ‘증가함수 또는 감소함수‘인 것은
서로 필요충분조건이다.
(2) 역함수를 구하는 방법
함수 y=f(x)의 역함수를 구할 때는 다음의 과정을 따른다.
① 함수 y=f(x)가 일대일대응인지 확인
② 함수식 y=f(x)에서 x, y의 위치를 바꿔 x=f(y)의 꼴로 만듦
③ x=f(y)에서 y를 x에 관해 풀어서 y=g(x)의 꼴로 변형
⑤ y=f(x)의 치역과 y=g(x)의 정의역이 일치하도록 함
①~⑤의 과정을 모두 거쳐서 얻은 함수 y=g(x)가
함수 y=f(x)의 역함수다.
(3) 역함수의 그래프 특징
함수 y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)의 그래프는
직선 y=x에 대해 대칭이다.
함수 y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)의 그래프가 만난다면
교점은 ’대체로’ 직선 y=x 위에 있다.
오호~
드디어 설명하려는 내용이 나왔네요.
함수 y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)의 그래프 교점을 구하라는 문제에서
y를 소거해서 얻은 방정식 f(x) = g(x)를 풀기 어려울 때는
y=f(x), y=g(x)의 그래프 교점이 직선 y=x 위에 있음을 이용해서
y=f(x)와 y=x를 연립해서 y를 소거한 방정식 f(x)=x
또는 y=g(x)와 y=x를 연립해서 y를 소거한 방정식 g(x) = x
를 풀게 됩니다.
그러다 보니
함수 y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)의 그래프 교점이
‘항상’ 직선 y=x 위에 존재하는 것으로 착각하기 쉽죠.
하지만 꼭 그렇지는 않습니다.
간단한 예로 f(x) = -x³ 일 때를 생각해 봅시다.
위 그림과 같이
함수 y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만나지만,
두 점은 직선 y=x 위에 있지 않습니다.
따라서 명제
‘함수 y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)의 그래프가 만난다면
교점은 항상 직선 y=x 위에 있다’
는 거짓입니다.
그렇다면…
지금까지 문제를 풀면서
‘항상’ 성립하는 것으로 생각해도 괜찮았던 이유는 뭘까요?
그것은
함수 y=f(x) 또는 그 역함수 y=g(x)의 그래프를 그릴 수 있는 경우만
출제되었기 때문입니다.
일반적인 함수 y=f(x)에 대해서
역함수와의 교점 개수 또는 위치를 묻는 문제는 없었죠.
그럼 앞으로도 그럴 것이냐?
그건 저도 모르죠 ^^;
이 글을 여기서 끝내면…
‘별 것도 아닌 글 읽는데 시간만 버렸네’
라고 생각할 분들이 많겠죠?
그래서 하나 더 알려 드립니다.
오~ 함수 y=f(x)가 증가함수일 때는
‘항상’ 성립한다네요!
이 명제는 2009 개정 교육과정에 추가된
‘귀류법’으로 다음과 같이 증명할 수 있습니다.
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프 교점 가운데
직선 y=x 위에 있지 않은 것이 있다고 가정하자.
그 점을 A(a, b)로 두면
y=f(x), y=g(x)의 그래프가 직선 y=x에 대해 대칭이므로
점 A를 직선 y=x에 대해 대칭이동시킨 점 B(b, a)도
두 함수 그래프의 교점이다.
이때, 직선 AB의 기울기는 다음과 같다.
………①
다음으로 함수 y=f(x)가 증가함수이므로
정의역의 임의의 원소 x₁, x₂에 대하여 다음이 항상 성립한다.
‘x₁ < x₂이면 f(x₁) < f(x₂)이다’
그러면 x₂-x₁ > 0, f(x₂)-f(x₁) > 0이므로
두 점 ( x₁, f(x₁) ), ( x₂, f(x₂) )를 이은 직선의 기울기는
다음과 같다.
………②
①, ②는 서로 모순이므로
두 함수 y=f(x), y=f⁻¹(x)의 그래프 교점 가운데
직선 y=x 위에 있지 않은 것은 없다.
이제 함수 y=f(x)가 증가함수일 때는 마음 놓고
함수 y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)의 교점이
직선 y=x 위에 있다고 해도 되겠군요 ^^
마지막으로 간단한 명제 문제 하나 던지고 마치겠습니다.
다음 명제는 참일까요? 거짓일까요?
-----------------------------------------------------------
정답은 거짓입니다.
함수 g o f, f o g 모두 항등함수라 같다고 생각하기 쉽죠.
하지만 정의역, 공역을 따져보면
g o f는 다음과 같이 X에서 X로 가는 항등함수입니다.
반면에 f o g는 Y에서 Y로 가는 항등함수죠.
이처럼 g o f와 f o g는 항등함수지만
정의역이 다르기 때문에 위 명제는 거짓이 되는 겁니다.
(물론 X=Y인 경우에는 참이 됩니다.)
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명제는 거짓...!
이유가 중요합니다!
감소함수의 경우에 반례가 존재합니다! y=x 위에 교점이 존재하지 않는 경우도 있습니다!
마지막 명제의 참, 거짓은
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 교점 위치와 무관합니다!
정의역이 다릅니다!
f 가 a에서 b로 간다면,
g는 b에서 a로 가는 함수인데, 합성함수 f(g)와 g(f) 의 정의역이 다른것..아닐까요
정답입니다 ^^d
모바일에서는 역함수 기호가 네모로 표시됩니다ㅠㅠ
안드로이드에선 지원 안되는 문자인가 보네요... ㅡㅡ;
어떻게든 보이게 고쳐두겠습니다.
모든 역함수를 y=g(x)로 통일했습니다.
이제 잘 보일 거예요~ ^^
포카칩현강 들었을때도 많이 듣고 강조한 내용인데 정말 감사합니다!
매번 정말 잘보고있어요!
오~ 포카칩님도 이 얘기 하셨군요!
감사합니다~ ^^
완죤 거짓! 반례는 y=-x 에 교점이 생기는 그런 감소함수에 해당합니다. f(g(y))=y 와 g(f(x))=x 는 y=x 라면 성립하지만 반례의 경유라면 같을슈가 없죵
맨 마지막 명제의 참, 거짓은 y=f(x), y=g(x) 교점 위치와 무관하구요,
댓글 두 번째 문장을 조금 바꾸면 정답이 됩니다.
어 진짜요..?
네~ 정답이랑 아이디어가 같습니다!
다만 변수 x, y를 사용해서 의미가 애매해졌어요.
변수 x, y를 집합 X, Y로 바꾸기만 하면 됩니다.
(함수 f: X→Y의 치역을 f(X)로 쓰니까요.)
몇번 해보고 아 이런문제는 항상 이렇군!
하고 대충 일반화시키는 습관 있었는데 칼럼볼때마다 반성하고 배워가요ㅎㅎ감사합니다
좋은글은 추천☆
저는 현역 때 수업을 따라가기 보단 독학하는 스타일이었는데
독학의 문제점 가운데 하나가 그겁니다.
유형별 핵심을 뽑아 일반화시키는데
이게 맞는 건지 틀린건지 자신이 없단 말이죠 ㅡㅡ;
주변에 물어보는 것도 한계가 있고...
그럴 때는 대충 넘어가지 말고
논리를 명확하게 하는 방법 밖에 없더라구요.
좀 더디긴 하지만 ^^
제가 오르비에 올리는 글도
자꾸 논리를 따지면서 이유를 찾다 보니 나오게 된 겁니다.
추천 감사합니다!
프사의 상태가..?? ㅋㅋ
전에 프사 이노리였을 때 하도 많이 언급되서
알베도-알리사-데드 마스터로 바꿨는데 무반응,
다시 이노리로 돌아왔더니 금방 반응이 있네요 ㅋㅋ
이것이 이노리의 매력인가...
(아니면 저의 착각인가 ㅋㅋ)
브금 크라운이군요.. 압니다
배우신 분이군요 ^^d
tanx 생각하면 되네요ㅋㅋ 거짓!
맞습니다!
f(x)=tan x (-pi/2 < x < pi/2) 가 좋은 반례네요~
제가 증가함수와 그 역함수는 y=x에서 만난다 라고 글 쓰니까
오르비언들이 지수함수 로그함수 의문의 1패라 쓰던데 어떻게 된 건가요?
지수함수와 로그함수는 증가하더라도 y=x에서 안 만나나요?
글쎄요...
본문에서는 '두 함수의 그래프가 만난다면'이라는
단서를 붙였는데 그게 없어서가 아닐까요?
예를 들어
y=1.1^x과 y=log_1.1 x의 교점은 직선 y=x 위에 있지만,
y=2^x과 y=log_2 x는 교점이 없거든요.
전 항상 y=-x를 예로 드는데 ㅎㅎ 앞으론 식상하지 않게 -x^3도 들어야겠군요 잘 보고갑니다!
감사합니다 ^^
단조로운 직선보단 뭔가 있어보이고 예쁜 곡선이죠 ㅋㅋㅋ
제르맹님! 질문 하나만 드려도 될까요? y=-x를 예로 들면 역함수가 y=-x 가 되는데 애네들은 y=x와 (0,0)에서 만나지 않아요? 제가 잘못 이해한건지..
(0,0)에서 만나지만, y=x와 만나지 않는점도 있기 때문아닐까요
헉 ㅋㅋ 좋은질문입니다. 탈장님이 말씀하시긴 했지만 조금 첨언하면 ' y=x위에 항상 교점이 있다'라는 명제에 대한 반례이므로 어떤 교점이 y=x위에 있는건 상관이 없죠. 예를들어 증가함수 y=x같은경우엔 역함수와의 교점이 전부 y=x위에 있으니 위에서 든 명제가 증가함수라는 특정 조건에선 맞는말이 됩니다. 하지만 단조감소함수같은경우엔 y=x위에도 교점이 있을 수 있고 추가적으로 그 '이외'에도 교점이 있을수 있다는 뜻이죠. 이해가 되셨을런지...
아, 당연한거네요. 순간 착각했습니다. 모든 교점이 y=x 위에 있는 것이 아니니까 반례가 될수 있는거죠? 감사합니다 좀 멍청한 질문을 했네요.ㅎㅎ
프사를 보니까 fallen이 생각난 제가 밉군요
fallen 표지를 프사로 쓰는 저는 어떡하라구요 ㅋㅋㅋ
하라는 수험생활 안하고 님표지보자마자 fallen 생각이난 제가싫네요ㅋㅋㅋ
예비고1이지만 정말고민하면서 y=x위에 두 교점이 존재하지않는 경우를 열댓가지 찾고 고민만했는데도 물어볼 곳이 없었는데 이렇게 통쾌할 줄이야ㅠㅠ 사랑합니다
막힌 곳을 뚫어드리게 되어 정말 다행입니다 ^^d
오 이런 칼럼 감사합니다ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ
소재 떨어질 때까지 종종 쓸 계획이니 많은 관심 부탁드립니다~
우와ㅠㅠㅠ 좋은 글 감사합니다!!!!
읽어주셔서 감사드립니다!
학원에서 감소함수일때는 역함수와 본함수 교점이 y=-x에서 생긴대서 뭔개소리... 하고 봤었는데 이렇게 설명해주시니 이해가 잘되네용
이해가 되셨다니 다행이네요 ^^
그리고 댓글 내용에 설명 한 가지 추가하자면...
함수 y=f(x)가 감소함수일 때
함수 y=f(x)와 역함수 y=g(x)의 교점이
항상 직선 y= -x 위에 존재하는 것은 아닙니다.
본문에서 예로 들었던 함수 y= -x³을 x축 방향으로 1,
y축 방향으로 1만큼 평행이동시킨 함수를 f(x)로 두면
즉, f(x)= -(x-1)³+1일 때는 f(x)와 그 역함수 g(x)의 교점이
직선 y= -x+2 위에 존재하게 됩니다.
고1 수2할때 답지에도 아무설명도 없이 f(x)=x로 푸는 경우가 많아 계속 수학쌤들께 여쭤본 기억이나네요. 근데 댓글로 질문하나만 해도될까요? '원함수와 역함수의 교점은 y=x 또는 y=-x 위에 있다 ' 이 명제는 참인가요? 거짓인가요?
거짓입니다.
바로 위 댓글에 있는 함수
f(x)= -(x-1)³+1이 반례구요.
이해원 저자가 쓴걸 고대로 베껴 써놨네. 왜 본인이 쓴척 하는거지.
이 글 쓰면서
이해원 님의 책이나 글은 참고한 적이 없습니다.
박수칠 수학 미적분1보면 f(x)가 다항함수일 때
위 내용과 함께 평균값 정리로 증명한 것이 있는데
머리 더 굴려서 일반화시킨 겁니다.
이해원님도 예전에 이런 오해 많이 받으시던데...
하지도 않은 일을 확신해서 얘기하는 것에 화가 조금 나지만,
여러 모로 관심 받고 있는 것 같아서 기분이 나쁘지만은 않네요 ^^;
죄송합니다만
제가 한완수 5권 본 사람입니다만
이 글을 본 적이 없고
포만한 눈팅러라 칼럼 올리신거는 계속 챙겨보는 편인데 동일한 내용은 없습니다
제가 못본것일 수 있는데 그럴경우 주소 남겨주시면 확인후 사과드리겠습니다만 아직까지는 자작물로 알고있습니다
http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=united&wr_id=3054370&sca=&sfl=mb_id%2C1&stx=ssengirl15&page=2
이 글 포함 이해원님이 예전부터 몇번 쓰셨어요. 다 챙겨보긴 개뿔이 진짜. 잘 모르면 그냥 가던길 가요 괜히 꼴사납게 껴들지 말고.
수학 칼럼쓰는것도 저작권이 있나요? 자기가 중요하다고 생각해서 쓰다보면 내용이 겹칠수도 있죠
그리고 이해원님 글은 12년 9월에 올라왔는데 할짓이 얼마나 없으면 이제와서 배껴서 올리나요 ㅋ 생각좀;;
고대로 배껴 쓴 내용이라고 말씀하셔서 그에 대한 반박을 한 것이구요
수학칼럼에 논제는 당연히 같을수도 있죠
제작년 포만한 모의평가 30번도 이에대한 저격문제로써 등장할 정도로 수학 가르치시는 사람이라면 중요한 논점으로 생각하는 부분입니다
그리고 자세히 보시면 알겠지만 개인마다 설명하고 접근하는 방식이 조금씩 다 틀려요 죄송하지만
이게 배껴서 온것이 아닌 강사분이 치열하게 고민해서 올리신것의 근거이시고요
이전 칼럼글 보시면 아시겠지만 단순히 글을 쓴다고 해결될 문제가 아니라 고민한 흔적이 눈에 훤하게 들어올 정도로 준비많이 하세요
참고로 저는 포카칩 제자인데
예전 교육과정에 지수관련 부분에 기출문제로 원함수와 역함수가 1번만 만난다 라는 주제를 가지고 이야기를 하신적이 있는데
이 문제를 푸실때 만약 y=x가 아닌점에서 만날경우로써 논제를 풀어서 모순점임을 밝히고 명제를 해결했습니다
또한 논술수업하실때 증가함수이면 y=x에서 만난다를 같이 증명했구요
같은 논제라고해서 증명방식이 동일할것이라는 생각은 옳지않다고 생각합니다
그런 논리로써는 2012 21번 2014 29번 2015 29번 2016 29번 전부 직선과 원뿔의 회전으로써의 내적의 최댓값 논리인데
해법은 총 2가지이죠
1.직관적으로
2.공간도형과 회전
크게 2개의 방식으로 설명하실텐데 누가 누구의 방식을 배끼고 그런게 의미가 있을까요?
하나의 접근방식인데
또한 접하면 그때의 미분계수는 0이다
이 내용또한 당연하게 생각하실지 모르겠지만 일부 교과서를 제외하고 안나와있는 교과외 개념입니다
일종의 따름정리이죠
강사들보면 이것을 설명할것입니다
과연 이것이 누가누구를 베낀걸까요?
이 정리또한 교과서에서는 나와있지않으니 일종의 따름 정리에요
당신한테 쓴 댓글 아니니까 헛소리좀 고만 앵앵거리세요. 되도않는 소리나 해대고있어.
뭐 아무리 제가 무슨 말을 하든 받아들이지 않으시겠죠
하지만 이 논리 자체는 죄송하지만 본고사에도 나온 소재입니다
누가 짠하고 개발한게 아니란말입니다
맹목적 비판은 자신한테도 좋을게 없을겁니다
이글 무슨소린진 알고있나?
하긴 공부를 해본적이 없으니 비슷한 내용 있으면 다 표절인줄 알겠지.
으휴... 그만좀 앵앵거리고 다녀라. 님 공부못하고 개념없는거 세상이 다알아요. 수학은 수학대로 못하지, 언어는 아예 국어사전 찾을지도 몰라... 시비거는것도 허접하지...
대체 할줄 아는게 뭐니? 집에서 밥축내는거? ㅉㅉ
이분 따름정리란말보고 자기가 모르는 단어 나와서 당황하면서 구글링중입니다.
자기가 본 책에서 나온내용이 딴책 나오면 표절이라는 어이없는 논리..
수학이 무슨 문학작품이냐? ㅋㅋㅋㅋ
뭔소린지 알지도 못하는데 설명해서 뭐합니까.;; ㅋㅋ
대체 너 왜이러고 사냐? 내가 진짜 어지간하면 넷상에서 반말 안하고싶은데 진짜 한심해서 그런다. 니가 의대를 다니건 뭘하건 사람같지 않은짓 하지말고 좀 딴데 가서 놀아라. 부모님이 너 이러는거 아시니? 넌 너희부모님이 스무살 갓넘은놈한테 그런소리 들으면 좋겠나? 나보고 나이먹고 뭐하냐며.. 넌 그나이먹고 뭐하는거지?
제르맹님 ㅠㅠ
한의사들 까는거야 내가 잘 모르는 부분이니 헛소리해도 그냥 무시하면 그만인데 이건 얘기가 다르죠. 다른글들 보니 어이가 없더군요.지가 뭐라고 남의 칼럼써놓은데다가 쥐뿔도 모르면서 뭔 시비질이야 어이가 없어서...
세상에나.... 중학교도 아니고 초등학교 교육만 제대로 받았어도 이렇게 무례할순 없겠네요.
그래 니가 일부러 관심끌려고 그러는건 알겠다. 상대방 기분나쁘게 하는게 목적일테니.....그래서 니가 한의사관련 뻘소리하는건 사람들이 관계 없으면 상대도 안해주잖아.... 근데 이건 이글 올린 사람에 대한 예의가 아니다. 뭐 어차피 본인 예의는 신경도 안쓰고 남 예의운운하는 족속이겠다만... 이런식으로 살지 말자 좀 관심 끌고 싶으면 딴식으로도 얼마든지 많잖니? 글들보니 의대생도 사칭이라매.. 사칭도 그만하고...
재차 말하는데 반말하지 마세요
넌 존대들을 가치가 없는 인간인데? 넌 아무데나 다 반말하고 다니잖어 ㅋㅋㅋ 뇌가달렸으면 누가먼저 반말하고 다닌지를 기억을해봐. 0.6%나으리
---------병먹금-----------------
왜 내 인증 요구글엔 답도 없니? 쫄리냐?
반말 먹어도 싸
와 말하는거봐 ㅋㅋㅋㅋ
수업하는 동안 난리가 났었네요 ㅡㅡ;
댓글 내용과 링크를 보니
주제의 유사성을 확대해석하신 것 같습니다.
보다 논리적이고, 구체적으로 문제 제기 부탁드려요~
빨아제끼는 이해원씨의 오개념
핵심포인트1의 1번의 맨아래에서 "증가함수이고 미분가능하면 ~~~이다. 라고 나와있는데 미분가능하면이라는 조건은 전혀 필요하지도 않고 쓰이지도 않음.
반면에 박수칠씨는 딱 필요한 조건만 써두심.
이해는 하고 댓글 싸고 있는지?
격한 지적 감사합니다~ ^^
며칠간 칼럼들 간간히 보는데 오개념없이 잘 쓰시더라고요. 내공에 감탄하고 갑니다. 응원합니다~
제 칼럼 좋아해주시는 분들이 많아서 힘내고 있습니다.
앞으로도 자주 올릴께요!
박수칠님! 신경쓰지 마세요
매번 칼럼 잘 읽고 있습니다
과외생들에게 나올때마다 보여주고 있습니다
걱정 안하셔도 됩니다~ ^^d
논란키운점은 죄송해요
진짜 저건 아닌것 같아서요ㅠ
키랄 님이 사과하실 일이 절대 아닙니다.
괜찮습니다 ^^
2012 대수능 9월모의평가였나
21번인가 3,3에서 만나는문제가 좋은 예제가 될것같네요.
2013학년도 문제입니다.
본문의 내용을 알고 있으면 조건 (나) 해석하기 쉽죠.
딱 떨어지는 좋은 예제입니다 ^^
마지막꺼 예시 로그함수지수함수가 제일좋을듯하네요
맞습니다~
역함수가 존재하면서 정의역과 공역이 달라야 되니
지수함수, 로그함수가 좋은 예가 되네요.
이런 헷갈리는 개념 잡아주는 칼럼 너무 좋아요 ㅜㅜ..너무 도움되오니 많이 많이 올려주세요❤️
소재 떨어질 때까지 계속 올릴께요.
감사합니다~ ^^
왜이렇게들 싸우는거지... 데카르트랑 뉴턴이 이 글을 볼 수 있었다면 참 좋았을텐데
뭔가 맞장구를 치고 싶은데...
두 사람의 관계에 대해 아는 것이 없네요 ^^
(윤리 진짜 싫어했음)
억함수와 원함수의 교점은 항상 y=+-x위에잇다하면 맞는겅가요??
대충말하면
y=x위나
y=-x+k 위라고 해야겠죠.
따질때는 연속이냐 아니냐, 증가감소조건같은 문제조건을 잘봐야죠.
둘이 만난다하여, f(a)=g(a)=b라 하면
f는 f(a)=b, f(b)=a 를 만족한다하거나 f(f(a))=a 이런결과를 얻게되니 직접 공부해보시는게..
y=-x+k 위라고 하기도 좀 애매합니다.
y= 1/x (x>0) 같은 함수도 있으니까요.
증가함수를 제외하면
생2님 조언처럼 문제에 주어진 조건으로
판단하는 것이 안전합니다.
거짓입니다.
본문에서 설명했던 함수 y= -x³을
x축 방향으로 1만큼, y축 방향으로 1만큼 이동시킨
함수 f(x)= -(x-1)³+1이 반례구요.
간단하게 함수 f(x)= -x+1을 반례로 들 수도 있습니다.
작년 리듬농구인가.. 오르비실모에서 풀어봤던거네요
30번이었던것같은데 교점3개가 y=-x위에 있어서 엄청난 충격이었죠
그 충격을 가지고 1년더하는중이지만
재수라..양늘리는거보단 이런 기본개념 오개념 하나하나 정리해나가는게 더 좋을거같아서 정독하고있네요 좋은칼럼많이부탁드려요(이렇게 할게많은 수학인데 다른과목때매 못하다니)
늘 봐주셔서 감사드립니다.
앞으로도 수능과 관련된 개념/유형에서 세세한 부분,
수능과 관련은 없지만 궁금한 부분을 왔다갔다 하면서 글 올릴테니
계속 관심 부탁드립니다 ^^
박수칠님~제가 댓글까지 읽어보았는데 제대로 이해한건지요
원함수가 증가함수일때 원함수와 역함수의 교점은 항상! y=x위에 있다.
원함수가 감소함수일때 원함수와 역함수의 교점은 항상! y=-x위에 있다.
이 두 명제는 참인건가요?
아아 다시 읽어보니 제가 헷갈리는 두 번째 명제는 거짓이라고 써두셨네요... 그럼 원함수가 감소함수일 때의 역함수와의 교점은 항상 어떤 직선 위에 있다고 일반화하기 어려운가요?
네~ 그 부분은 일반화가 안됩니다.
함수 y=1/x (x>0)을 예로 들면
원함수와 역함수가 일치하기 때문에
그래프 위의 모든 점이 교점입니다.
이런 경우에는
어떤 직선 위라고 말할 수가 없죠.
논리!
오래 전에 올린 글 읽어주셔서 감사합니다!
흥미있게 꼼꼼히 다 읽었습니다. 학생들 입장에서 놓칠만한 포인트ㅎㅎㅎㅎ꿀잼ㅇㅈ
크~ 글 쓴 보람을 느끼게 해주는 댓글이네요^^ 감사합니다!
그럼 감소함수는 홀수개이고 증가함수는 짝수개에요?
무슨 뜻인가요?
구체적으로 질문해주세요.
저도 지금 정리가 잘 안돼요
저거 귀류법도 이해가 안가여
직선 ab의 기울기가 왜 -1이에요?
본문에 써있는 얘기 그대롭니다.
y=f(x), y=g(x)의 그래프 교점 가운데
y=x 위에 있지 않은 것이 있다고 가정하고 그것을 A(a, b)로 두면
f(a)=b, g(a)=b가 성립합니다.
그리고 f(x), g(x)가 서로 역함수라
f(a)=b로부터 g(b)=a가,
g(a)=b로부터 f(b)=a가 성립하게 되고,
점 B(b, a)도 y=f(x), y=g(x)의 교점이 됩니다.
이때, 직선 AB의 기울기는
두 점 (a, b), (b, a)를 이은 직선의 기울기니까 -1이죠.
허허 이게 6평 29번으로 나올줄은 상상도 못했네
안녕하세요 선생님! 선생님께서 쓰신 “역함수”관련 게시글 “함수 y=f(x)와 역함수 y=g(x)의 교점 위치”를 보고 궁금한 점이 있어 답글 답니다.
연속함수가 일대일대응이면 증가함수이거나 감소함수라고 하셨는데, 여기서 “연속함수”의 개념이 “정의역에서 연속함수”의 개념이면 위의 명제에 반례가 있는 것 같습니다만,
유리함수 y=1/x가 정의역인 0이 아닌 모든 실수에서 일대일대응인 연속함수인데도 불구하고, 감소함수도, 증가함수도 아니지 않습니까. f(-1)=-1, f(1)=1, f(2)=1/2 로 증감까지 바뀌는 것 같습니다.
혹시 제 의견에 틀린 부분이 있다면 첨삭해주셨으면 합니다.
연속함수의 정의를 엄밀하게 적용하면 etuhbt님의 맞습니다.
그리고 언급하신 명제에서의 연속함수는 '어떤 구간에서 연속인 함수'의 의미로 받아들이시면 됩니다.