미적분러라면 이 정도는

저번 수능 20번 문제 기억하시나요.

딱히 해석할 필요 없이 그냥 대입 잘 하면 풀리는 문제였습니다.

하지만 그 문제에

기하적인 해석을 곁들여서 이해할 수 있으면 좋을 것 같아요.

그런 느낌의 해석이 이전 수능에 나오기도 했구요. (2022수능 30번인데, 밑에서 보여드릴게요.)

일단 작수 20번 문제 읽어보겠습니다.

그려보면,

이런 상황이네요. 

다음 부분 보겠습니다.

일단 x>k 인 부분은 그냥 알려줬어요. 그럼 궁금한 건 x<k 부분이죠. 

일단 얘를 통해 x<k인 부분의 정보를 알 수 있다고 느껴야 합니다.

함수가 막 합성돼있다고 쫄 필요 없어요. 차근차근 보면 됩니다. 

일단 우리가 f(x)에 대해 아는 게 x>k니까 

k보다 큰 x를 저기에 대입한다고 생각해볼게요.

x>k일 때, 

f(x)는 0 ~ k 의 함숫값을 가집니다.

즉...

0 ~ k 의 어떤 수를 다시 f(x)에 넣었을 때의 얘기를 하는 중인겁니다.

그러니까 식을 통해 이 노란색 영역에서 f(x)가 어떻게 생겨먹었는지를 알 수 있는거죠.

이제 기하적인 해석을 시작해보겠습니다.

우선 식을 변형해줍니다.

아까도 말했지만 x>k에서만 관찰해줄 겁니다. 그 뜻은,

우변에 결과물은 k보다 큰 값이 나온다는거네요.

그나저나 이 식 약간 역함수가 연상되지 않나요?

잘 안 보인다면 

이렇게 g(x)를 정의하고 다시 볼게요.

즉

밑에꺼 보면 확실히 보이죠. 

f(x)와 f(x) /3이 역함수 관계에 있다는 건, 

f(x)를 y=x에 대해 대칭시킨 뒤에 3배를 하면 다시 f(x)가 나온다

는 뜻입니다.

여기가 조금 어렵죠? 지금 생각할 게 좀 많아요. 

제가 가독성을 위해 범위를 빼고 러프하게 말했지만, 범위도 고려해야 해요.

냅다 f(x)와 f(x)/3가 역함수인건 아니니까요.

잠시 멈춰서 생각을 하다가 넘어가보세요.

여기가 핵심입니다.

충분히 고민해보셨나요? 이제 같이 보겠습니다

이게 우리가 아는 f(x)구요,

x>k 구간의 f(x)를 y=x에 대해 대칭시켜주면

이렇게 됩니다. 이제 여기에 3배를 해주면

모든 함숫값이 3배가 됩니다.

지금 나온 연두색이 바로 0~k 구간의 f(x)에요.

f(x)의 x>k 구간과,

f(x)/3 함수의 0<x<k 구간이

역함수로 대응되는 구간입니다.

이제 남은 건 계산입니다.

k가 뭐였냐면 

얘였습니다. 조금 정리해서,

이걸 뽑아낼 수 있겠죠.  

문제에서 물어본거랑 비슷하게 생겼네요.

양변을 세제곱해주면 문제에서 물어본 복잡한 저거가 

실은 얘였다는 걸 알 수 있겠죠.

지금 x자리에다가

얘 넣으면 함숫값 뭔지가 궁금한거에요.

이제 그림으로 돌아가볼게요.

일단 저기가 12인게 보여야 해요. 왜 12냐면

얘를 뒤집어준거니까요. 

x-3=9, 즉 x=12

근데 구해야하는 건 12가 아니죠

그거 3배해줘야 합니다. 뒤집고 3배라고 했으니까요. 

답은 36입니다.

저는 사실 문제를 처음 봤을 때 딱 이렇게 풀었습니다.

그냥 대입 몇 번 하면 나온다는 건 다른 분들한테 듣고 나서야 알았어요.

조금 허망했던 기억이 있네요..

그나저나 식을 이렇게 인식하는 건 종종 쓰이죠. 특히 미적분러라면 더 그럴 겁니다.

중요한 건 f(x)를 기준으로 서술하는 것입니다.

"f(x)를 뒤집고 3배하면 다시 f(x)가 나온다!" 처럼

f(x) 기준으로 서술해야 안 헷갈려요.

관련 문제 하나 던져드리고 글을 마치겠습니다.

심심하면 풀어보세요

(출처: 2021 시행 대수능 미적분 30번)

그냥 계산하지 마시고, 제가 보여드린 것처럼 

이 부분을 기하적으로 인식하면서 해보세요.

더 좋은 글로 또 찾아뵙겠습니다. 

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#무민