다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
게시글 주소: https://ys.orbi.kr/00069099108
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
일단 본인은 진짜 열심히 싸울 자신 있음ㅇㅇ
-
잘한다 Or 못하진 않다 Or 못한다 어떤 느낌임??
-
생1 생2 마려운데.,
-
국어 n제랑 실모 중간중간에 기출을 섞어줘야 할 것 같은데 어느정도 주기를 가지고...
-
ㄹㅇ 내또래면 쪽지라도 줄텐데 개거슬리노..... 연애질은 니들집가서해라 오늘...
-
크아아아아아앜 미쳣다 두달도 안남았다고 진짜 와
-
오늘 공부 7
내일 쉼
-
님들 과제 안밀리고 잘 하고 있음?? 생각보다 많네
-
딴건 이제 거의 다 맞추는데 천체 파트랑 반감기 이게.. 어렵게 나오면 안풀리거든요...
-
수학 실모 추천 0
메가 대성 외에서 시중 구매 가능한 실모 추천좀
-
근데 어쩔수 없는듯 오답정리 확실하게 하자
-
나의 구원자들
-
입문:가장 평범하지만 가장 강력한 입문 개념:폭발하듯 강렬한 개념완성 기출:기출을...
-
20학번이라 울었어ㅠㅠ
-
'벤처 천국' 떠나는 기업들…무슨 일이 있었길래 [송영찬의 실밸포커스] 1
미국 실리콘밸리는 전 세계의 가장 대표적인 ‘스타트업 천국’이자 테크 업계의 심장부...
-
아육대 봤는데 0
설윤 진짜 이쁘데
-
6평보고 국어하느라 거의 안해서그런지 정상화당했는데 어떡하죠 굵직한건 기억나는데...
-
사아 밍밍타하 12
츄우야카쿠텐
-
다시 태어나면 4
이재명 vs 윤석열 와이프는 그대로 혜경궁 김씨 vs 김건희
-
그냥 제 인생에서 가장 후회됐던 선택이라 순간 울컥해서 넋두리좀 해본건데 언짢게...
-
확통 사탐할거임?
-
24/09/16 월요일 [국어] : 박광일T [주연마의 서 9강, 10강] -목가적...
-
수리논술 1
6장 썻는데 계집이라 수학 못해서 ㅈ댐 건대 확통 통계부분 잘 안나오죠?? 확률만 공부할 계획인데
-
21번진짜뭐임????? 21에서 말려서 21 22 28 30 싹나감 28은...
-
택 1 ㄱㄱ 난 무조건 문학
-
이것은 수능 이후에 벼락치기로는 절대 붙을 수 없을 거라는 확신이 듬 늦었지만...
-
물리 무서운점 6
1페이지 별거 아닌문제에서 시간끌림 하나로 끝날 리 없음. 여기저기서 계속 턱턱막힘...
-
엔제
-
정신나갈거같아
-
공부해서 컨텐츠 만들어보는 것이 소원
-
올해 목표대학 가면 11
내년엔 진짜 정벽모 만들어볼까 ㄷㄷ
-
ㄹㅇ
-
검색해도안나와요
-
양도 0
완전양도 가장 큰곳 ㅁㄱ 구해요! 급합니다 .. 편하게 쪽지 주세요
-
풀고 틀린거 고민 몇분 정도까지 함?
-
어느 분야에 있어서 최고가 되기위해서는 많은 노력이 필요하다고하네요 10000시간...
-
수능 끝나고 칼럼 쓸거임
-
요즘에도 균대가면 많이 헤어지나오?
-
관심좀 13
관심
-
현 메가스터디 쌤인데 자주 하는 말 모음이에요 ㅋㅋ " (흐억!)(칠판소리...
-
그럴바엔 올해대학감ㅋㅋ
-
나 억울해 4
동생이 훅 지나가면서 디시 좀 그만하래 평생 디시 한 적도 없고 오르비 학습글 보는...
-
노력하고 발품 팔면 어느정도는 갈 수 있지 않나 눈이 높아서 취업을 못하는 것도...
-
옯창인가요?
-
스킬위주로 독해력없이 푸는강사 ㅊㅊ좀 독해력기르긴 시간도 능력도 없음
-
하 ㅋㅋ
-
하……… 수능장보다 다닥다닥 붙어있는데 산만해 죽는 줄 제발 그러지 마세요 제발좀 제발 어휴
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다