벡터의 진짜 정의
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수학에서 벡터는 고등학교때의 벡터와는 다릅니다.
정확히는 다루는 범위가
수학에서의 벡터>>>>고등학교에서의 벡터(물리적인 벡터)
정도로, 수학에서 다루는 벡터는 그 적용 범위가 엄청나게 넓습니다.
고등학교에서는 벡터를 크기와 방향을 갖는 양이라고 합니다. 이는 벡터를 먼저 정의하는 방식이죠.
하지만 수학적으로는 이는 벡터만을 정의한게 아니라 내적도 같이 정의한게 됩니다. 루트(v•v)를 크기로 정한거니까요.
그래서 사실 수학적으로 완벽한 정의도 아니죠.
그렇다면 수학에서는 벡터를 어떻게 정의할까요?
벡터를 먼저 정의하지 않고, 벡터 공간을 먼저 정의한 후, 그 벡터공간의 원소를 벡터라고 합니다.
어떤 집합 V가 다음을 만족시키면 이를 벡터공간이라고 합니다.
V 내부의 임의의 벡터 v, w, u 에 대하여 벡터합(덧셈)과 체 F(실수라고 생각하면 됩니다.)의 임의의 원소 a,b에 대해 스칼라 곱이 존재하여
1. 덧셈에 관련된 규칙
a. 덧셈의 항등원(영벡터)이 존재한다. v+0=0+v=v
b. 덧셈의 역원이 존재한다. v+(-v)=(-v)+v=0
c. 덧셈의 교환법칙이 성립한다. v+w=w+v
d. 덧셈의 결합법칙이 성립한다. v+(w+u)=(v+w)+u
2. 스칼라 곱에 관련된 규칙
a. 스칼라 곱의 항등원(1)이 존재한다. 1×v=v
b. 스칼라 곱의 분배법칙 두가지가 성립한다.
(a+b)v=av+bv, a(v+w)=av+aw
c. 스칼라 곱의 결합법칙?이 성립한다. (ab)v=a(bv)
이걸 모두 만족시키면 V를 벡터 공간이라 하고 V내부의 모든 원소는 벡터가 됩니다.
고등학교에서 배우는 벡터도 이를 전부 만족시키는 것을 확인할 수 있습니다.
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선형대수에서 본거같아....선형대수 기초 내용이죠!
선형대수학이 이걸 공리로 깔고 들어가는 학문이니까요
회전변환을 했을때 가변이면 벡터 히히히히힣
뭐 사실 저도 역학할때는 이걸로 씁니다 ㅋㅋ
양자역학 할때는 힐베르트 공간이라... 못써요