복소수가 들어간 재밌는 평가원 기출 문제 + 풀이
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아까 올렸던 문제의 간단한 풀이를 정리해 보았습니다. 2020학년도 중등임용 수학 1차 전공 B 문제입니다.
먼저 리우빌의 정리(Liouville's theorem)를 이용합니다.
f(z)가 정함수라는 건 복소수 전체 집합에서 해석적이라는 의미이므로 f(z)+z^2도 정함수가 됩니다.
리우빌의 정리는 복소평면 위의 한 영역 내에서 유계인 정함수는 상수함수뿐이라는 정리입니다.
이를 적용하면 1/{f(z)+z^2}≤1/3이므로 f(z)+z^2이 상수라는 점을 알 수 있습니다. 이제 상수 k에 대해
라고 두면, f(2)=k-4, f(i)=k+1이 됩니다.
|k-4|=3이므로 k의 값을 복소평면 위에 그리면 4를 중심으로 하는 반지름이 sqrt(3)인 원 위의 점에 대응합니다.이때 |k+1|은 k가 위치한 점과 -1이 위치한 점 사이의 거리와 같으므로 k=2±sqrt(5)i일 때 |f(i)|의 최솟값 sqrt(14)가 나옵니다.
복소평면과 함께 고1 때 배웠던 원의 방정식을 여기서 활용할 수 있습니다!
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결국 저거만 알면 벡터적 해석이 맞네요 하 ㅋㅋ
잘생긴데 수학까지 잘하시면 반칙 아닌가요