이차방정식의 판별식과 이차함수 사이의 관계, 켤레근

중3, 고1 수학에서 학습할 수 있듯이

모든 이차식은 p(x+q)^2+r 꼴로 정리할 수 있습니다.

이때 y=p(x+q)^2+r 이라는 이차함수의 그래프는

직선 x=-q에 대칭이고 점 (-q, r)에서 최대 혹은 최소를

지닙니다.

적당히 a=b=c=1 정도의 이차함수를 관찰해봅시다.

얘는 그럼 x=-1/2에 대칭입니다.

여기에서 켤레근의 성질을 증명해봅시다.

먼저 일반적인 상황, 모든 계수가 실수일 때입니다.

이때 만약 b^2-4ac<0이라면, 다시 말해 판별식의 값이 음수라면

꼴로 근을 작성할 수 있습니다.

따라서 만약 한 근이 허근임이 밝혀진다면

그것을 x=p+qi (p, q는 실수) 라고 할 때,

x=p-qi도 근이 되는 것이 대칭성에 의해 자명합니다.

계수가 모두 실수라는 조건이 붙는 이유는

p에 해당하는 -b/2a와 q에 해당하는 루트(ㅣDㅣ)/2a 가 

실수여야 z=a+bi (a, b는 실수) 꼴로 나타내어

실수 부분과 허수 부분에 대해 깔끔하게 논해볼 수 있기 때문입니다.

비슷한 방식으로 모든 계수가 유리수라면

루트 안이 제곱수가 아닐 때 

x=p+q or x=p-q로 깔끔하게

유리수 부분과 무리수 부분? 으로 작성해볼 수 있습니다.

따라서 x=p+q가 근이라면 대칭성에 따라

x=p-q도 근이 되는 상황임을 알 수 있습니다.

계수가 모두 실수일 때와 모두 유리수일 때

켤레근에 대해 논하는 상황을 살펴보았는데

핵심은 대칭성입니다.

그래프를 그려 시각적으로 확인해보면

처음 보았던 것처럼 x=-b/2a 가 

대칭축이 됨을 확인할 수 있습니다.

물론 x=-b/2a 이렇게 기억해두시기보다

항상 직접 유도하는 습관을 길러두셨으면 좋겠고

x=-(이차방정식의 일차항 계수)/(2x(이차방정식의 이차항 계수))

이렇게 말로 풀어두시면 더 좋겠습니다.

후에 수학1에서 등비수열이라는 수열을 배울 때에도

등비수열의 합 공식을 기억할 때

저렇게 수식으로 기억하는 것보다

(첫째항에서 마지막 다음 번째 항 뺀 거)/(1에서 공비 뺀 거)

이런 식으로 기억해두시면 좋습니다.

비슷한 방식으로 조금 더 정리해보면...

"첫째항 곱하기 (1-공비의 항수 제곱) 나누기 (1- 공비)"

이렇게 말로서 기억해두시길 권해드립니다.

참고로 이는 2020년 1월 일산청솔에 계시던

정낙봉 선생님께서 제안해주신 것임을 밝힙니다.