참고) 230615를 눈풀하는 엄밀한 방법
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메인글 보고 급하게 한 번 다시 써 보겠습니다. 23학년도 6월 평가원 모의고사 15번 문제입니다.
이 문제를 간편하게, 그렇지만 엄밀하게 눈풀할 수 있는 방법이 있습니다.
수열의 생김새를 보면 a2는 a1에 1/(k+1)을 더하고, a3은 a2에 1/k를 뺌을 알 수 있습니다. 여기서 이것이 반복된다고 생각해 볼 수는 있습니다.
그렇지만 증명하지 않고 넘어가면 제대로 된 풀이가 아니죠.
왜 저렇게 되는지는 매우 간단합니다.
보조정리라 할 것까지도 없습니다. 그냥 통분해서 정리하면 보일 거예요.
그리고 같은 경우에서
이 성립함은 더 쉽게 알 수 있습니다.
그렇다면 이제 어떻게 할 건지 감이 오시나요?
수학적 귀납법과 비슷한 방법으로 
이라는 사실을 알 수 있습니다. (2k+1)이 수열의 주기의 배수가 된다는 것이죠.
그리고 여기서 구할 수 있는 k가 가능한 모든 k라는 걸 증명하겠습니다.
어렵지 않아요. 그냥 k와 k+1은 서로소임을 기억하면 됩니다.
그러면 저 점화식에서 (2k+2)번째 항이 1 다음으로 최초로 0이 되는 항임을 알 수 있습니다.
즉 (2k+1)이 이 수열의 주기라는 것이죠!
(4k+3), (6k+4), (8k+5)... 번째 항이 0이면서 그 항들만 0임을 알 수 있습니다.
제가 풀었을 때(현장은 아니었지만) 이 풀이를 바로 떠올렸습니다.
그렇다면 풀이는 이 정도로 축약할 수 있습니다.
1. 이 수열은 0 이하면 1/(k+1)을 더하고 양수에서 1/k을 빼는 수열이다.
2. 그런데 가능한 모든 경우에 대해 1/(k+1)을 더한 후에는 양수, 1/k을 뺀 수는 음수가 된다.(보조정리 참고)
3. 따라서 이 수열의 주기는 2k+1이다.
4. a_22가 0이므로 (2k+1)이 21의 약수이다.
5. 따라서 가능한 모든 k는 1, 3, 10이므로 합은 14이다.
떠올리기는 쉽지 않지만 생각만 한다면 1분 안에 푸는 것도 무리는 아닙니다.
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전 저 때 반복 아니면 문제 왜 냄? 이라는 마인드로 풀었었던 기억이 ㅋㅋ
특수 케이스
무슨 중국인의나머지정리? 라는걸로 ㅈㄴ 일반적인 증명도 있다고 어디서 들엇는데
중국인의 나머지 정리는 어려운 건 아니고 재밌어요! 합동식 개념만 알면 봐도 좋을 거예요!기초 정수론인데 확장해서 추상대수학에서 쓰기도 한답니다!
정수론 재밌어했던 게 작년 6모나 수능 15번을 쉽게 푸는 데 도움을 준 것 같아요!
ㄱㅁ
뀨뀨대 ㄱㅁ저 문제 때문에 작년 6모 끝나고 정수론 도움된다고 약팔이한 기억이 있네요
결과적으로 수능 15번 보면 도움이 됐던...혜안이 대단하십니다 선배님
아!!!! p/k+1 - q/k 꼴에서 p=q=1 해보고, 음수니까 p에 2 넣고, 그럼 양수 되니까 q=2 넣고..를 반복해서 p=k+1,q=k일 때 an=0을 만족하는거군요 신기해요
현장에서 떠올리긴 힘들었을 수도 있다 생각하지만 저는 집모로 풀 때는 떠올려서 풀고 감탄했어요아마 정수론이 도움이 되긴 한 것 같습니다 ㅋㅋㅋㅋ
저는 조금 더 간단하게 생각했던 것 같습니다.
21의 약수를 떠올리며 케이스분류해서 1분안에 풀리더라구요!
떠올리기 어려워하는 경우도 있는 것 같더라고요저건 설명하려고 일반화한 거에 가까운데 풀 때는 한 10초 정도만에 풀긴 했죠
저 이거 작년부터 이해 못하고 있었는데 지금 이거 보고 이해함뇨 ㄱㅅ
그런데, 보조정리가 성립하려면 k가 n보다 커야만 하지 않나요?
k가 n 이상이어야 해요!
한 주기 내에서 볼 때를 기준으로 생각했더니 급하게 쓰느라 실수한 것 같네요...