[칼럼] 도형에 대한 기본적인 생각

안녕하세요.

오늘은 수학 칼럼입니다. 주로 2~3등급 이하 학생 분들이 보셨으면 좋겠습니다.

상위권 분들은 도형에 약하시다면 가볍게 봐주세요..!

도형에 대해 떠오르는 것이 있어 간단하게만 정리해보려 합니다.

도형 문제는 어느 정도 풀이가 정해진 측면이 있습니다.

물론 수학을 잘 하시는 분은 워낙 많고, 간결한 풀이와 정말 기발한 풀이가 넘쳐 나지만

그럼에도 일반적인 관점에서 도형은 해야 할 것들이 고정되어 있는 편입니다.

다시 말해 2~3등급 분들이 지금 당장

수학 칼럼을 쓰시는 독존님이나 악어새님 등등..처럼 될 수는 없어도

저만큼은 하실 수 있을 겁니다.

전 문과거든요

도형 문제 학습에 있어서 가장 큰 애로 사항은,

"답지를 보면 알겠는데 어떻게 떠올려야 하지?"가 아닐까 싶습니다.

더군다나 답지를 본다고 실력이 확실히 느는 것도 아니고..

누군가 '이유'를 설명해줬으면 했습니다.

1. 삼각함수 값 하나를 준다면, 그건 모든 정보를 제시한 것이다.

제가 좀 헤매던 부분 중 하나입니다. 

sin법칙과 cos법칙을 따로따로 물어보면

외접원 주니까 sin, 세 변 or 두 변과 끼인 각 주니까 cos

이런 식으로 쉽게 처리할 수 있었습니다. 이게 딱 쉬운 삼각함수 3점 문제겠죠.

그런데 조금만 어려워져도, 여기서는 sin, 저기서는 cos, 썼다가 안 썼다가 뭐 어쩌라는 건지 알 수가 없었습니다.

그런데 알면서도 활용하지 못했던 것이 있었다는 걸 어느 순간에 알게 되었죠.

하나의 삼각함수 값만 줘도, 적어도 삼각형 안에서는 모든 삼각함수 값을 다 준 것이나 다름 없습니다.

sin값을 줘도 cos값을 구할 수 있고, 그 반대도 마찬가지이죠.

그러니까 

"sin값을 제시했지만 cos법칙을 활용하려면 값을 이리저리 바꿔야 한다!" 이게 아니고

애초부터 삼각함수 값은 다 주어져 있었다는 겁니다.

문제로 보겠습니다.

여기서는 sin BCD만 주었지만, 사실상 cos값도 같이 준 것이겠죠.

정말 당연한 이야기인데, 이걸 의도적으로 생각하고 풀면 안 보이던 게 보이기 시작합니다.

2. 보조선은 보조선을 긋기 위해 존재하는 것이 아니다.

이건 정말 중요한 이야기라고 생각합니다.

학생들을 가르치다 보면 '보조선을 긋는 것 자체'에 매달리는 경우가 많습니다.

하지만 보조선의 의미는 그런 데 있는 것이 아닙니다.

문제로 살펴보겠습니다.

이 문제의 마지막에서 저는 cos값을 찾으려고, 그리고 sin값을 찾으려고

그러니까 '직각삼각형을 만들기 위해' 보조선을 그었습니다.

2-1. 삼각형에서의 삼각함수 값을 활용할 생각도 해야 한다.

보조선과 연결되는 이야기인데

보통 sin, cos, tan의 정의 그대로를 기억하거나,

sin법칙, cos법칙 그 자체만 생각하는 경우가 많습니다.

그러나 우리가 중학교 때 배웠던 것처럼

삼각형에서의 삼각함수도 구할 줄 알아야 합니다.

피타고라스 정리와 연계되는 경우가 많죠.

위에 나온 문제에서도 마찬가지입니다.

3. 변형 공식은 암기해둘 필요가 있다.

sin법칙에서 나오는 공식이 았습니다.

저는 다음 세 가지 공식을 모두 외우고 있습니다. 

cos법칙에서 나오는 공식이 있습니다.

저는 다음 두 가지 공식을 모두 외우고 있습니다.

워낙 문제를 많이 풀고, 

또 수학 실력이 뛰어나서 안 외우고도 자유자재로 전환이 되는 사람은 모르겠지만

(사실 그런 사람도 머리 속에 이미 '외워져' 있는 거겠죠.)

일반적인 학생들은 "아니 누가 변형 공식을 무식하게 외움? 그냥 현장에서 식 변형하면 되지."

라는 생각을 많이 합니다.

그렇지만 이런 문제들이 나왔을 때 보자마자 풀이가 시작되려면

체화의 과정도 분명 필요할 겁니다.

삼차함수 비율 관계를 현장에서 증명하지 않는 것과 비슷한 맥락이라고 생각합니다.

특히 cos 공식 같은 경우, 저는 두 번째 공식을 훨씬 더 많이 쓰는 거 같네요.

솔직하게, '반드시' 암기해둘 필요가 있다고 말하고 싶습니다. 

최상위권이 아닌 이상 머리 속에 넣어두지 않으면 바로 꺼내 쓰기는 어렵다고 생각합니다.

당연한 이야기이지만, 암기에 앞서 이해는 필수입니다.

4. '나만의 말'로 여러 가지 도구를 정립해두자.

많이 얘기했던 부분입니다.

'같은 cos값을 다른 삼각형에서 활용하기', '각을 넘기면 cos은 마이너스' 등

문제에 곧바로 써먹을 수 있도록 

관련 개념을 나만의 말로 다듬어 놓는 것이 좋습니다.

5. 삼각형의 변과 각에 대한 명칭

이건 그렇게 중요한 건 아닌데

쉬운 문제에서 삼각형을 매번 그림으로 그려가며 푸는 학생들이 있어 간단하게만 넣겠습니다.

다들 배웠던 내용일 겁니다.

문제에서는 이런 식으로 활용될 수 있겠네요. 3번 파트에서도 똑같이 썼었죠.

더 생각나는 것도 있지만 기본적인 건 이 정도인 듯합니다.

읽어주셔서 감사합니다.

유익하게 보셨다면 좋아요 + 팔로우 부탁드립니다!