[칼럼] 쉬운 문제를 빠르게 푸는 것은 생각보다 중요합니다.
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안녕하세요. 요즘 원고 작업에 몰두하고 있어 2주 만에 글을 쓰네요.
오늘은 국어가 아니고 간단한 수학 이야기를 해보려 합니다.
예전에 22번 모음 칼럼 올렸을 때도 생각보다 질문을 많이 해주셨는데요.
해설 강의 같은 영상의 댓글을 보면
논리는 깔끔한데 혼자서 여기까지 생각하는 건 힘들 거 같다는 이야기가 참 많죠.
아무리 '22번 참 쉽죠?'라고 말하는 분들이 많아도.. 그 말이 와 닿지 않을 수 있습니다.
저는 작년까지만 해도 문제에서 준 조건을 활용해서 '일단' 식을 시험지에 써본 다음,
뭔가 연결 고리가 있을 만한 걸 뽑아내서 답을 찾았습니다.
최근에 독존님과 이야기를 나누면서 참 많은 것을 얻었는데 (독존님 감사해요!)
들었던 말을 요약하면 딱 하나만 남습니다.
본인의 풀이가 최선일 거라고 생각하지 마라.
문제를 보는 순간 어떤 식으로 풀지 떠올라야 한다.
몇 번 말씀드렸던 거 같은데 수학은 제가 가장 좋아하고 잘하는 과목입니다.
그래서 항상 제 풀이가 최선이라고 생각하는 자만에 빠져 있었던 거 같네요.
2등급 초~1등급 중간 정도의 학생 분들이 그렇게 생각하는 경우가 꽤 있었는데
저도 그렇게 생각하고 있었네요 ㅋㅋ...
반성은 이쯤하고, 간단한 문제를 가져와 봤습니다.
원래 하나 더 있었는데 너무 길 거 같아서 다음으로 넘겼습니다.
사실 생각만 하다가 글을 쓰게 된 것도 수업하다가..
2022학년도 9월 8번 문제입니다.
제가 글을 쓰기 전 3등급 정도 받는 후배에게 풀이를 써서 보내보라고 했더니 이렇게 답장이 왔습니다.
제가 저걸 좀 바꿔서 깔끔하게 쓰면 이 정도 풀이가 되겠네요.
그런데 여기서 이런 생각을 해볼 수 있습니다.
이걸 보고 의문이 드는 학생도 있을 테고, 오 그렇구나 하는 학생도 있을 겁니다. 수학 고수분들이 보시면 별것도 아닌데 글을 쓰네(...)라고 하실 수도 있겠죠.
그림을 과감하게 생략해서 저것만 남은 건데 눈으로 푼 걸 종이에 쓰다 보니, 웬 수직선이 튀어나왔나 하실 분도 계실 거 같습니다.
방금 저는 고난도 기본 개념(재료)을 하나 만들었습니다.
삼차함수에서, 두 실근에서의 접선의 기울기가 같으면, 나머지 한 근은 그 중점에 존재한다.
x = 0과 x = 1에서 실근을 가지는데, 두 x값에서의 접선의 기울기가 같으니
둘을 이은 지점은 무조건 점대칭점이 됩니다.
그렇다면 점대칭점 역시 x축 위에 있으며 그 값은 0과 1의 평균인 1/2이 됩니다.
기존의 풀이는 1~2분 걸리는데 저렇게 생각하면 10~20초 정도 걸릴 겁니다.
이걸 들려주니 후배가 "너무 발상적이지 않아요?"라는 질문을 했습니다.
실전에서 이걸 쓰겠냐는 의미로 한 말 같은데, 저는 이 재료를 예전 수능완성 실전 모의고사에서 이미 뽑아냈었습니다. 해설지에는 없었지만요.
그리고 제가 봤던 그 문제는, 22번 문제였습니다.
왜 그렇게 풀어야 하냐고 수학 잘하는 사람에게 물어보면
많이 풀다 보면 떠오른다는 대답을 자주 들으셨을 겁니다.
22번 문제에는 5번 문제의 개념도, 8번 문제의 개념도, 13번 문제의 개념도 활용될 수 있습니다. 요즘 22번이 예전에 비해 최고난도 킬러 문제 같지 않다는 건, 이런 개념을 엮을 수만 있으면 되는 경우가 많아서라고 생각합니다.
그래서 평소에 문제 풀 때 습관을 이렇게 가지셨으면 좋겠습니다.
1. 데드라인 정하기 - 문제 수준에 따라 3~8분
2. 실전이라 생각하고 막무가내로 풀기
3. 복습하면서 내 풀이 말고 더 나은 풀이는 없을까 고민하기
제 후배가 말했던 것처럼, '너무 발상적'이라고 느끼는 부분은 시험장에서 꺼내쓸 수가 없습니다.
3번을 끊임없이 연습하면, 실전에서 2번처럼 풀어도 최선에 가까운 풀이가 나올 겁니다.
그리고 3번에서 더 나은 풀이를 떠올리지 못 해도 상관없습니다. 고민하는 것만으로 도움이 됩니다.
제가 독존님께 몇 가지 조언을 듣고 좀 연습을 해봤는데 중요한 사실을 알게 되었죠.
대부분은 너무 당연해 보이는 것조차 하지 않는다. 그야말로 당연해 보이는, 진부한 소리이기 때문에.
그런데 이 '당연해 보이는 것'을 직접 실천하면 효과가 분명히 있습니다.
국어에서도 어느 정도 실력이 올라왔을 때 데드라인 공부법을 활용하라고 한 적이 있었는데, 수학 역시 극한의 상황으로 본인을 몰아 넣으면 뭔가 보이기 시작할 겁니다.
이 데드라인 공부법이 좋은 게
시간 제한이 걸리면 최대 효율로 문제를 풀어야 해서, '일단' 써보는 식으로 무작정 문제를 푸는 습관을 고칠 수 있습니다.
다시 말해 머리 속으로 과정을 다 그려 놓고 나서 문제를 푸는, 즉 문제를 지배하면서 푸는 훈련을 할 수 있다는 거죠.
제목에서, 쉬운 문제를 빠르게 푸는 것이 '생각보다' 중요하다고 했습니다.
고난도 문제는 고정 100점이 아닌 이상 빠르게 풀 수 있을지, 시간이 많이 걸릴지, 아니면 풀지 못할지 알 수 없습니다.
그리고 심리적인 요소를 고려한다면, 시간이 적을수록 고난도 문제를 해결할 수 있는 가능성은 굉장히 낮아집니다. 저도 참 반성을 많이 했었는데, 쉬운 문제를 빨리 푸는 건 '생각보다' 정말 중요합니다. 그냥 중요하겠지 뭐~ 하고 넘어가면 안 된다는 뜻입니다.
다음 문제에서 할 이야기는 좀 더 간단했는데, 도형 문제 관련이었습니다. 그런데 글이 너무 길어지는 것 같아 여기까지 하고 나중에 이어서 써보도록 하겠습니다.
항상 이렇게 무거운 글들을 끝까지 읽어주셔서 감사합니다.
(그래도 예전에 비해서는 많이 짧아졌습니다ㅠ)
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최저 겨우 맞춰서 조마조마했는데 결국 붙어버린... 일단 너무 기쁘네요
5초 더 생각하고 20초 더 빨리 푼다명언이네요..!
nice한 풀이를 추구하시는 저희 선생님께서 하신 말씀이어요
1등 실패입니다 선생님
실수 안하는법도 부탁드립니다수능 현장에선 실수가 있을까봐 쉬운걸 빨리빨리 못넘어가겠더라구요
실수 때문에 대학이 내려갔다고 해도 과언이 아닌..저보다 선생님이 수학 더 잘하실 거에요 ㅋㅋㅋㅋ 기만..!
저 수시라...
수능때 국어때매 멘탈 완전히 나가서 수학 계산실수 중간에 10개 고치느라 킬러 한두개는 손도못댔어요ㅠㅠ
그나마 못잡아낸 실수는 없어서 1끝자락받고 최저 맞추긴 했지만...
저는 실수를 진짜 기상천외한 것까지 다 해본 입장인데 요즘은 많이 줄었습니다
일단 제일 간단하면서 효과 좋은 게 뭘 잘못 풀었는지 문제 옆에 적는 거죠. (음수 곱했는데 부등호 안 바꿨다. 탄젠트의 주기를 무의식적으로 2파이로 봤다 등등..)
하다 보면 어느 순간에 아 또 이러네 라는 생각이 들고, 거기서 더 발전하면 실수가 없어지게 되는 거라고 생각합니다.
(이것도 칼럼으로 쓰려했는데) 그 다음으로는 문제를 풀 때 수리 논술 치듯이 푸는 게 있는데, 여기서 중요한 논술 치듯이 모든 과정을 자세하게 적으라는 게 아닙니다. 논술처럼 적으려다 보면 풀이 순서를 지키게 되는데 나중에 실수를 발견했을 때 피드백이 빨라지는 효과가 있습니다.
이외에도 여러 가지가 있겠지만 큰 틀은 이렇고.. 의대 다니시는 분이라 감히 조언을 더 적기가 부끄럽네요..!
조언 감사합니다!!제가 수알못이라 그런데.. 헤헤
삼차함수에서, 두 실근에서의 접선의 기울기가 같으면, 나머지 한 근은 그 중점에 존재한다<< 항상 존재하는건가요??
너무 생략이 되어있는데 정확히는
도함수를 생각해보면 3차 함수의 도함수는 2차 함수죠? 근데 2차 함수에서 대칭성을 이용하면 같은 값이 나오는 곳의 중점은 2차 함수의 축이죠?
근데 도함수의 극점은 원래 함수에서 변곡점에 해당합니다. 근데 3차 함수는 변곡점에 대해 항상 점대칭 함수 입니다 그러므로 점대칭점을 중심으로 양쪽으로 근이 있으니 점대칭점 또한 당연히 근이 될 수 밖에 없죠 그림으로 한번 그려보시면 이해가 빠를거라 생각됩니다
오 오…. 이해했어요 감사합니당
답글 다신 분이 설명을 정말 잘해주셨는데 실제로 그림을 그려보면 이렇게 되겠죠 머리 속으로는 접선을 안 그려보고 생각을 하니 생략이 많이 된 그림이 맞습니다..!
히히 감사합니당 이해했어요!!!!
잘써먹을게용뇸
오 오랜만에 올리시네요
오랜만입니다 선생님 라이브 강의 이후로 되게 오랜만에 뵙네요태도적인 면에서 정말 좋은 내용이라고 느껴집니다!
데드라인 정하는 공부?는 국어에서는 모의고사를 시간 짧게 잡아두고 하는 방법인가요?
방법을 바꾸면 길이 보입니다 - 국어편
[https://orbi.kr/00055962675]
설명 영상 링크 [https://youtu.be/gJ6Z2oqtWkE]
여기서 2, 3번 한 번 봐보시면 좋을 거 같아요! 말씀하신 게 맞습니다 안 그래도 글을 쓰려고 했었습니다 어느 정도 실력이 올라왔을 때 실전에서 시간을 줄이는 방법은, 시간을 줄이는 방법밖에는 없습니다.(?)
뭔가 이상하게 들리시겠지만, 특별할 게 없다는 의미입니다. 그런 맥락에서 데드라인을 정하고 하는 건 언제나 의미가 있다고 생각합니다.
아까 전 문제 풀 때 삼차함수 사이드 기울기가 같을 때 한 점은 중점이다 썼었는데, 오르비로 다시 리마인딩
너무 좋은 조언이세요 선생님..!!
아참 그리구 선생님 풀이더러 발상적이라고 한 후배님께는
따끔한 회초리 한번 날려주세요
그런 발상 모르고도 1등급 맞구 싶으면
78년도로 돌아가서 98년도 수능 보라구요
이 노인도 여기저기 귀동냥으로 비율관계 넓이공식 이런거 배우고 있는데
감사한 줄도 모르고 고녀석 참
선생님 오랜만에 인사드려요!후배는.. 본인의 현재 수준에서는 조금 어렵다! 라는 뉘앙스로 말했던 거라고 생각해요
98년도 프랑스 월드컵 감성은 ㅋㅋㅋㅋㅋ
항상 유쾌하셔서 뭐가 올라와도 볼 때마다 웃음을 주시네요
그와중에 글씨는 설의의 품격..
헤헤... 말은 엄하게 했지만 사실 저도 후배들 앞에선 한없이 약해진답니다
98년도 프랑스 월드컵은... 히딩크 감독님이 이끄는 네덜란드한테
5:0으로 졌던 기억이 아직도 생생하네요ㅠㅠ!!
이번에 6월 평가원 주관식에서 4차함수의 극솟값 하나를 주고 극댓값을 물었던 문제에서도
굉장히 간단한 방법으로 푼 쌉고수 분들의 풀이를 보고 신기해했는데
Cogito님 칼럼 보고 다시한번 6평 분석하러 가봐야겠어요!!
다시한번 유익한 칼럼 정말 감사드립니다! ^^
???:어 현우진 또 선넘네
그러고 보니 그 후배도 현우진 선생님을 아주아주 좋아해서저는 한 번도 사설 인강을 안 들었는데도 멘트나 말투를 다 알게 되었어요
3~4등급이라 대칭축 이해하는데 30분 걸렸네요..이렇게 이해하는게 맞는건가요??
도함수로 그리면 그렇게 될 텐데, 그냥 원함수에서는 접선의 기울기로 이해하시는 게 편할 수도 있어요 참고로 그려주신 그림대로라면 f'(0) = f'(1) = 0이 되는 거라, 약간 헷갈리신 거 같아요!
위에 있는 댓글에 제가 그려둔 그림 보시면 이해하기 쉬우실 거라고 생각해요
위에 그림 참고하니까 이제 납득됏습니다! 산생님 그리고 혹시 정말 염치가 없지만 제가 모의고사 12번 준킬러부터 아예 제대로 풀어서 맞춘 적이 정말 한번도 없는데 (이번 7모에서는 풀다가 모두 막혀서 다 틀렸습니다..) 이런 12번부터의 벽을 극복하는 공부는 어떻게 해야 할까요? 현재 뉴분감 진행 중인데, 뉴분감을 모두 완료해야 우선 길이 보일까요? 제 자신에게 확신이 들지 않아서요..
항상 최고의 풀이를 생각해보고 시험장에서 가능할까? 싶은것도 해봐야지 언젠가 그 엇비슷하게라도 푸는거 같아요!
그렇죠 시험장에서 두려움 없이 쓰려면 평소에도 해놓는 게 좋죠..!막연하게 시간만 재고 빨리 푸려고 했는데 데드라인 한 번 해봐야겠어요
감사합니다 ^.^
막연하게 시간만 재고 -> 전체 시간을 재신다는 걸로 알아들었는데맞는 말씀입니다
전체 80분컷 해야지! 이거는 효과가 그렇게 큰 거 같지 않아요 문제당 데드라인 꼭 한 번 해보세요 감사합니다!
선생님 데드라인 공부법에 큰 감명을 받고 처음 시도해보려고 하는 학생입니다.
n제를 풀때에도 선생님 말씀은 시간을 재면서 풀라는 거죠?? 난이도 높은 n제도 같은 방식으로 해도 될까요?? 난이도 높은 n제를 가지고 푼다면 좀 많이 틀리고 얼렁뚱땅 풀어서 효과가 적을거란 염려가 들어서 질문드립니다!ㅠ
국어든 수학이든 어차피 오답처리 된 부분에 대한 복습은 철저히 하는 것이 전제이기 때문에, 실력을 늘리는 데는 문제가 없습니다.
우리가 효과를 얻고자 하는 건 빨리 풀어서 시간을 단축하려는 부분이죠.
어차피 실전에서는 데드라인을 스스로 설정하고 문제를 풀었던 순간보다도 훨씬 급한 마음으로 풀게 될 거니까요.
실력적인 부분은 복습만 제대로 한다면
처음에 데드라인을 정해놓고 푸는 것에 영향을 받지 않을 거라 생각합니다.
고마워용 함 도전해보게씀다
그런데 수학 n제를 문제수준당 시간을 설정하고 푸려고하니까 궁금해진점이
문제수준은 어느정도 풀어봐야 감이잡히는데 시간설정을 어떻게 문제를 풀기전에 합리적으로 할수있을까요?
뭐 실모처럼 번호가 난이도순이면 몰라두 n제는 그렇지않아서..
실제 시험에서도 번호가 반드시 난이도 순인 것은 아닙니다. 작년 수능만 하더라도 그랬었죠. 그래서 저는 20번보다 22번을 먼저 풀 때도 많습니다. (요즘 20번이 어려운 경우가 많더군요) 일반적인 경우를 가정하고 말씀드리면
시간 설정을 하지 못하겠다는 건 본인의 수준이 어디인지 잘 모르는 걸 수도 있습니다. 일단은 눈에 보이는 걸로 결정하는 수밖에 없겠죠.
되게 유의미한 질문을 주신 게 뭐냐면, 저는 수학에서 실력이 나뉘는 지점은 본인이 당장 풀 수 있는 문제와 그렇지 못한 문제를 구분하는 데 있다고 보기 때문에..
헉 더 잘해지면 눈으로봐도 감이잡히는군요.. 저도 감은 잡히는거같다가도
실제풀어보면 겉보기난이도랑 다르게 더 오래걸릴때도많길래..
충분히 그럴 수 있습니다 사실 저도 생각했던 거랑 다를 때가 있기 때문에 무슨 심정이신지는 알 거 같아요요기 밑에계신 저자분의 n제를풀때도 간단하게보였는데 바로안풀리는거 많던데 ㅠㅠㅋㅋㅋㅋ
저도요근데 애초에 그런 부분 때문에 정말 좋은 N제라고 생각합니다. 보통은 그런 경우가 많지 않은데
머리가 깨진다는 표현이 정말 적절한 거 같아요
맞는 말 뿐이네요 ㅎㅎ
선생님 N제 잘 풀고 있습니다..!다만 제 머리에 한계를 느끼는 중일 뿐ㅠㅠ
지인선 N제 풀이 칼럼도 쓰고 싶었는데 쉽지 않네요
좋게 봐주셔서 감사해요!
좋게 봐주셔서 감사합니다 ㅎㅎ
교육적인 면에서 깊게 생각하시는 분이라고 생각해서 항상 존경하고 있어요!
좋은 칼럼 감사드립니다!!
처음이 코기토님은 뭔가 닉넴땜에 영어 칼럼을 쓰실 것 같은 느낌이었는데 여러 좋은 칼럼들 올려주시네요ㅎㅎ
8분안에 못푼다면 답지를 보는게 낫나요? 아니면 그때부터 다시 될때까지 붙잡나요? 막힐땐 어떻게 대처해야할지 궁금합니다!
이건 수준마다 시기마다 다르다고 생각해요1~2월이라면 될 때까지 붙잡는 것도 좋은데, 지금 시기에는 안 풀리면 답지를 보는 쪽이 낫다고 생각합니다.
수준으로 얘기하자면 선생님처럼 메디컬 가실 정도의 수학 고수분들은 시기랑 무관하게, 굳이 될 때까지 붙잡지 말고 바로바로 답지 보면서 재료를 얻어가는 느낌으로 공부하는 게 좋다고 생각합니다.!
2초~안정1이신 분들은 대부분 답지를 바로바로 보는 게 효율적일 거에요!
헉 딱 제가 1후반~1중반이거든요! 감사합니다! 말씀하신대로 해볼게요!
코기토님 칼럼은 개추 박고 스크랩 국룰이죠
제가 이걸 못해서 수학을 못하죠...ㅋㅋㅋ
국어의 신이시잖아요제가 기출 좋아하는 이유가 이거임... 저렇게
깊게 고민해서 볼때마다 조금씩 새로운게 보여서..
맞아요 보다보면 보이는 게 많죠저렇게 풀다보니 22,30 제외하곤 난이도차이가 안느껴짐.. 4점짜리도 발상만 술술 되면 이게 어려웠나? 싶음. 그냥 3분? 계산 더러우면 5분? 을 안넘기고 22 30 풀 시간 더럽게 많이 확보됨.. 결론적으로 22 30도 풀어서 갑자기 수학 시간이 남는 매직.. 제가 딱 무지성 식 갈기기로 풀다가 막히면 ㅅ’ㅂ 다른거였나? 하면서 문제 돌아봐서 현장에서 84~88을 못벗어나던 케이스였는데 문제 보고 머릿속으로 거의 다 풀고 식으로 간단하게만 푸니깐 갑자기 포텐 터짐.. 진짜 저 위에 사진 수직선처럼 필요한 부분만 골라서 쓰게 되더라구요.. 칼럼 너무 좋네요.. 잘 읽었습니다!!
ㅎㄷㄷ 저도 84~88에서 막힌 케이스인데 님처럼 되고싶네요 그렇게 머릿속으로 어느정도 바로바로풀린다는건 기본실력+문풀양이 받쳐줘서 가능한거겠죠?
기본 실력 + 빅데이터 좀 쌓여있으면 뭔가 계기가 있으면 한번에 터지는것같아요.. 전 거의 1주만에 몇십분 남기는 수준으로 개떡상한 케이스.. 근데 벽에 막혀서 진짜 오래 있었어요 지금 생각해보면 의미없는 문풀만 계속 했던것같은..ㅋㅋㅋ
저도 지금 84에 1년째 정체중인데 어떤 계기가 있으셨나요?ㅜㅜ
맨날 아슬아슬하게 한문제 풀던거 못풀고 끝나고 바로 풀리던데
난이도 차이를 못 느끼겠다는 것부터 고수..!
글로 잘 표현해내셨네요 ㅎㅎ 감사합니다!
도움 많이 받았습니다 선생님오랜만에 올리셨네용
확실히 요즘 22번은 아이디어만 잘 떠올리면 거의 풀리더라구요
전 개인적으로 그런 발상 생각해내는거?가 중요한거 같아요
사소한 것도 놓치지 않는 게 중요하죠사람에 따라 다르더라구요…
저는 생각하는걸 싫어해서 낮은번호대면
아 식몇개 문자몇개 조건충분하네 해서
무지성 계산박는데 오히려 이게 좋다고 생각해요
킬러풀때의 관점과 비킬러 풀때의 관점은 다르다고 생각합니다
+ 대부분의 학생들은 저런 수학적인 지능을 가지기까지 엄청난 노력을 해야합니다
차라리 계산연습시켜서 단기간에 폭발적으로 성적향상시키는게 좋다고 생각해요
말씀은 전부 다 맞는 말씀이라고 생각합니다.
글에도 써놨지만 저런 게 보이면 가져가는 거고 안 보이면 계산하고 넘어가는 게 맞죠
그냥 생각해보려는 시도 자체를 끊임 없이 해야 한다는 뉘앙스였습니다. 비록 비킬러라고 해도 킬러에서 쓸 만한 게 보이면, 재료 정도는 건지는 것도 좋다고 생각해요..!
그냥 x(x-1)(ax+b)로 푸는게 합리적인 것 같은데...
그렇게 보실 수도 있습니다당장에 이렇게 푼다 저렇게 푼다 보다는
어떻게 하면 더 효율적으로 풀지를 평소에 고민해보면 좋겠다는 글이었습니다
네! 기분 나쁘셨다면 진심으로 사죄드립니다..
아닙니다 이런 건 정답이 없죠충분히 맞는 말씀입니다
마침 오늘 이 문제가 나왔네요 ㄷ ㄷ
ㅅ
좋은 글이네요질문드립니다!! 혹시 14,15,21,29,30 같은 준킬러도 8분데드라인을 잡고 하는게 좋을까요??
그렇습니다. 8분 데드라인은 최대로 지정한 거라 그 안에도 못 풀면 답지를 보고 사고를 교정하는 게 더 나을 거에요
지금은 끈덕지게 고민할 시기는 아니죠
더군다나 준킬러를 풀 생각을 할 정도의 실력이시면
막혔을 때 답지를 보는 게 나쁜 건 아닌 거 같아요
오 선생님 캐스트
왜 수학으로 캐스트에 올랐는지는 몰라도 영광스럽네요
수학으로 이 기회에 전직 ㄱ학생들에게 매우 필요한 내용인것 같애요. 학생들이 이걸 받아들여서 풀이를 교정해야 본인의 한계를 뛰어넘을 수가 있는데 말이죠. 교정하기 위해서는 3점부터 바꿔야 하구요. 근데 이삼이들은 본인의 풀이가 최선? 만족?하는 경우가 많지요….
선생님 댓글 감사합니다수학 공부할 때 꼭 필요한 내용을 재밌게 전달해주셔서 글 잘 보고 있습니다
칼럼 쓰시는 강사 분들 중에 제일 유쾌하신 거 같아요ㅋㅋㅋㅋ
쉬운 문제라고 얕보지 않고 얻어갈 수 있는 건 모두 얻어가려고 하는 자세가 중요한 것 같아요