[수학칼럼] 증명을 공부하는게 고난도 문제 풀이에 도움되는 이유
게시글 주소: https://ys.orbi.kr/00054696644
안녕하세요. 상승효과 이승효입니다.
작년에 올렸던 칼럼인데
최근에 증명에 대한 질문을 몇번 받아서
다시 올려드립니다.
Q. (학생의 질문)
"증명하는 과정이 수학에서 고난도문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하나요?"
A. (이승효의 대답)
증명이라는 것은, 교과서에 나와 있는 어떤 정리가 참이 되는 이유입니다. 예를 들어, 피타고라스 정리가 있죠. 그게 참인 이유가 증명이에요. 이걸 배우지 않은 상태에서 혼자서 증명하는 것은 어렵습니다. 증명은 과거에 누군가 엄청나게 똑똑한 사람이 한 것이기 때문에, 그걸 우리가 짧은 시간안에 떠올린다는 것은 어렵겠죠. 그러한 증명이 꼬리에 꼬리를 물고 연결되면서 수학이 발전해 온 것이고, 고등학교 교과서는 그러한 연결에 의해서 만들어진 유기적인 내용입니다. 예를 들어, 수학1, 수학2, 미적분 순서대로 이어지는 것에는 다 이유가 있는 것이죠.
증명하는 과정이 수학에서 고난도 문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하는가. 고난도 문제를 풀어봤다면 알겠지만 여러가지 발상들이 필요합니다. 도형문제라면 어떠한 상황에서 보조선을 어떻게 긋는다, 함수의 식이 주어졌다면 어떻게 한다, 등등. 문제만 풀어온 학생이라면 이러한 발상을 문제를 풀어야 배울 수 있는 거라고 생각하겠지만, 사실 수능에 나오는 모든 발상은 100% 교과서 증명 안에 다 들어있습니다. 그것을 바탕으로 수능 문제를 출제하니까요.
제가 전에 쓴 글에서 미분을 MRI에 비유했는데, 글 중간에 보면 MRI검사를 수백명 해보면서 인체의 신비를 깨달아가는건 어려운 일이라고 했죠? 증명을 배운다는 것은 마치 살아있는 인간을 배우기 전에 해부학을 배운다는 것과 같습니다. 이미 과거에 다른 사람들이 발견한 정보들을 바탕으로 교과서적인 원리들을 먼저 배우는 것이지요. 따라서 교과서 정의, 정리, 증명에서 배운 내용을 바탕으로 기출 문제를 풀게 되면, 문제마다 새로운 것을 배우는 것이 아니라, 문제를 풀면서 교과서 내용을 확인하게 되는 것이지요. 그러한 과정을 기출 분석이라고 합니다. 따라서 기출을 보기 전에 교과서 내용을 정확히 알고 있는건 매우 중요해요.
증명을 해야 하는 두번째 이유. 학생은 미분가능한 함수는 연속함수이다 라는 것을 증명할 수 있나요? 이건 실력지상주의 1주차에서 수업한 내용인데요. 대부분의 학생은 이걸 증명할 수 없습니다. 왜냐하면 미분가능한 함수와 연속함수의 정의를 정확히 모르거든요. 느낌으로만 알고 있고 식으로 정확히 표현할 수 없다면, 매우 쉬운 한줄짜리 증명임에도 불구하고 할 수 없습니다. 그럼 정의를 알고 있는 것이 왜 중요한가, 예를 들어 어떤 함수가 미분가능함을 보여라, 라는 문제가 있을 때 대부분 학생은 1.연속이다. 2.좌미분계수=우미분계수가 같다. 라는 순서대로 문제를 풉니다. 이건 아주 대표적인 잘못된 풀이라고 할 수 있는데, 정의를 잘 모르기 때문이구요, 저렇게 풀리는 3점짜리 문제는 문제가 없는데 4점짜리 문제로 가게 되면 해결이 안되는게 생겨요. 문제풀이의 접근방법은 반드시 정의->정리 순서대로 나아가야 하는데,오개념으로 풀다보면 접근 자체가 안되는 경우가 생깁니다.
증명을 해야 하는 세번째 이유. 직접 증명을 써보면 알겠지만, 아는 내용이라도 논리적으로 설명하는 것이 쉽지가 않습니다. 그건 학생들이 아직 논리적 사고력 또는 표현력이 부족하기 때문이죠. 교과서에 있는 증명들은 매우 간결하면서도 논리적입니다. 복잡한 증명은 고등학교 교과서에 나오지 않기 때문에 누구나 이해할 수 있는데, 그걸 자신이 직접 해보는건 쉽지 않아요. 강사가 설명하는 내용을 들으면 이해는 되지만 똑같이 설명해 보라고 하면 쉽지 않은것과 같은 이유입니다. 즉, 논리적 사고력을 키운다는 것은 다른게 아니고, 연습입니다. 수학은 그것을 연습하는 학문이에요. 고등학교를 졸업하면 미적분이 쓸모가 없을 수도 있고 대부분의 성인은 수학을 잊어버리지만, 중학교까지만 다닌 사람과 고등학교까지 수학을 배운 사람이 논리적 사고력에서 차이가 나는 것은 수학적인 연습을 했기 때문입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
프사는 자기 정체성의 일부이다
-
수학 공부법 0
지금 3등급이고 4점 기출 중인데 어려운 4점이라 대가리만 ㅈㄴ 깨지고 있거든요 걍...
-
https://orbi.kr/00068670556 위 링크로 접속 후에 팔로우랑...
-
너무 난잡하려나...
-
원의 중심이 원점일 때 반지름이 r이고, 직선의 기울기가 m이라면 접선의 방정식은...
-
6모 확통 4등급.. 4점기출은 9,10번 빼고 손도 못 댈거 같음 유형서는 한번...
-
교대 질문받아용 0
막학기를 남겨둔 졸업반입니당 공부하기 싫어서 오르비 오랜만에왔어용
-
마닳로 2회독 끝냈는데 ㅊㅊ 좀
-
어???? 5
저게 캐스트에 걸리다니…….. 더 도움되고 더 좋은 자료 만들어서 배포하겠습니다ㅜㅜ
-
인간 관계 1
끊어야 할 인간 관계 1. 몇 주 뒤에 잡은 약속 시간 전후로 새로운 약속을 만드는...
-
시대 6평 편입 0
시대 6평 편입 합격했다고 문자왔는데 반이나 수강 선생님은 결제해야 알 수 있는건가요??
-
옯붕이 또 십덕질 했다 12
-
EBS교재 연계니 뭐니 싹 없앴으면 좋겠음... 연계가 있어서 그나마 쉬워지지...
-
선택구매라서 안살까 생각중인디
-
그 분이 총 맞은 날이군요
-
26요청) 사회문화 도표 Q100 N제 배포 이벤트 6
제가 직접 만든 사회문화 도표 Q100 N제 배포 이벤트를 시행합니다! 참여 방법:...
-
올해 강k 국어 1~3회 언매 등급컷 아시는 분..ㅠ
-
lfxl를 그냥 fx로 봤다던가.. 계산 실수 했다던가 등등이요..
-
고2때 까지만 해도 인강3사 1타, 시대 선생이 최곤줄 알고 있었음 고3 돼서 느낀...
-
이명학 신택스부터 할건데 지금부터 해도 커리 완주가능? 5
6모 영어가 너무 낮게 나와서 신택스부터 하루에 한두개씩 들어보려고 하는데...
-
한국외대 에타 0
아이디 양도해주실 분 계실까요? 재학생 인증이 학번이 다르다고 계속 안되서...
-
김유연 왜이리 이쁨 14
쟤는 좋겠다
-
과중이라 내신 물화생지2 4개 다하는데 얘네 절대평가로 바껴서 ABC로 나오는게...
-
ㅋㅋ
-
2학기에 미적분 듣는 고2 정파입니다 진도를 빨리 끝내야겠다는 생각과 감유지도...
-
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ 한국사> 수특 핥쨕 끗...
-
확통 사1과1 기준으로 아무 과라도 좋습니다
-
15만원짜리 사도 인정 되나요?
-
ㅈㄱㄴ
-
학교가 기말 직전에 한 교시당 30분으로 운영하면서 단축수업해서 그런가 집중이 딱...
-
하루에 두시간씩만 하면 힘들까요??? 이번 7덮 생윤 보정후 높1 윤사 2컷정도 일거같은데
-
문쾅충 3배는 증식한듯 싼맛에 다녔는데 그냥 기간 끝나면 옮겨야겟다 사장도 문 고칠...
-
드릴 왜이리쉽지 3
드릴3 수학1 푸는데 왜이리 쉬운거같지 옛날에 드릴1 수학1 풀었을때는 난이도 좀...
-
이번 주 할 것 1
나비효과 완강. 수득 영어 듣기 14강 까지 듣기 영어 단어장 14일 까지 보기. 끝
-
윤성훈 엠스킬 1
교재 필수임? 검더텅 가지고 안될까여
-
국어,수학,과탐 대충 몇정도 받아야 함?
-
현아 결혼하네 2
오....
-
고1이라서 잘 모르는데 가산점 받으면 수학 2문제정도 커버된다고 들었는데요 그럴거면...
-
7월 1일이 엊그제여야하는데;;
-
재밌구만 이거
-
개때잡 듣는중인데 그다음강의 뭐 듣는게 좋을지 아님 자습처럼 기출 풀지 모르겠네요...
-
배고파아아
-
안 살거라고 생각하고 상담이나 견적같은게 불친절할까요
-
129 0
1주일 뒤 나는 국어 확정 5등급 실력과 영어 6이상을 받을거야 할 수 있다.
-
작년에는 착실히하게 매일매일 1년동안 해서 뭔가를 유기하고 싶다는 생각은 안...
-
D-129, 서울대 수학교육과, 입시의 모든 것, 김지석 0
습~하 다 장마 속 잘지내고 있냥? 안이 나는 죽을 것 같아 어항속에 사는 고양이가...
-
내가 뭘하고 뭘 배우고있는건지 모르겠음요 어따 써먹을지도 모르겠고 이명학 들어보고싶다
-
이명학 알고리즘 맨 마지막에 알려주는 문항별 정리본 보내주거나 알려주실분 있으신가용..
-
고민중
어떤 교과서로 증명을 연습해야 되나요?
증명은 부차적인 것이 아니라 교육과정에서 반드시 알아야 하는 내용이기 때문에, 중학교부터 고등학교까지 모든 교과서에는 같은 증명이 포함되어 있어요.
감사해요 선생님! 하나만 더 여쭙겠습니다ㅠ
미적분인데 수학,미적분,수학1,수학2 찬찬히 읽고 증명연습할 생각인데 더 해야할 교과서 있을까요? 아니면 4권도 충분하다 보시는지요~?
도형은 중학교 교과서도 봐야 합니다. 어렵지는 않으니까 금방 끝나요~