미분가능성에 대한 오개념 잡기

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이 명제에 대해서 생각해봅시다. 참이라는 생각이 드시나요?

생각해보면 첫 번째 식은

클릭하시면 이미지뷰어로 보여줍니다

그림으로 이렇게 이해하죠. 고정점 P를 놓고 다른점 Q와의 평균변화율을 구한다음 그 극한을 취하는 형태로요.

그리고 두 번째 식은
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어떤 Q에서의 접선을 그어놓고 점 Q가 P로 다가가면서 그려지는 접선의 기울기가 어디로 가까이 가는지를 생각하면 되겠죠.

이렇게 봤을 때, 당연히 두 값은 똑같이 나오지 않을까라는 추측을 할 수 있습니다

만, 이 명제는 거짓입니다. 다음과 같은 반례가 있습니다.

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이 명제가 거짓이라는 게 의미하는 것은, f(x)가 미분가능한 함수라고 해서 f'(x)가 반드시 연속은 아니라는 뜻입니다.
그렇기 때문에 미분가능성을 조사할 때는 반드시 첫 번째 식, 미분계수의 정의를 가지고 확인해주어야 하죠.
사실 이 부분은 중상위권 학생들이라면 한 번쯤은 들어봤을만한 내용입니다.

여기까지 이해했다면 이제 다음 문제를 한 번 보겠습니다.

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간단한 문제입니다. 쉽게 풀 수 있죠.

바로 풀이를 올리자면 이렇게 됩니다.

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그런데 아까 f'(x)가 연속이 아닐수도 있다는 것을 배웠는데, 이렇게 풀어놓고 보니
빨간색 밑줄 친 부분은 f'(x)가 x≥-1 일 때 -1 대입한 값, x즉, lim(x->-1+0)f'(x)=lim(x->-1-0)f'(x) 라고 생각해놓고 풀어버렸네요.
이 극한값이 미분계수를 뜻하는 건 아니라고 했으니, 이 풀이는 오류가 있다는 것을 알 수 있겠죠???

아쉽지만 이 풀이에는 오류가 없습니다. 물론 밑에 이런 사고과정이 있었다는 전제 하에서 하는 얘기입니다.
'미분가능성'을 조사할 때는 아까처럼 미분계수의 정의대로 가야하지만, 두 번째 문제같은 경우에는
이미 '미분가능하다' 라고 조건을 박아버렸습니다. 이 때는 상황이 달라져서 위의 풀이가 가능합니다.

이를 일반화하여서 다음과 같이 증명할 수 있습니다.

미분1-2.png
미분2.png
미분4.png

증명을 보시면 알겠지만 f(x)의 도함수가 연속인지 아닌지에 상관없이 이 명제가 성립한다는 것을 알 수 있습니다.

요약

1. 미분가능성을 조사할 때 -> '미분계수의 정의'부터 떠올려야 한다. 도함수의 극한으로 구해서는 안 된다.

2. 이미 '미분가능하다' 라는 조건이 붙어있다면

-> 위의 문제와 같은 경우, 미분계수를 확인해봐야 하는 지점에서 g'(a)=h'(a) 라고 생각해서 풀어도 무방하다.

참조: 포만한 수리 연구소 '나카렌'님의 증명을 발췌했습니다.

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수교과 학생 [357512]

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일타삼피 · 424982 · 13/04/22 00:17

와 정리 좋네요.
그런데 이런 수식은 어떻게 올리신거죠? 그림파일로 올리신건가요?
아까 제가 글 쓸 때도 쓰기 불편해서 혼났는데.;;

그런데 마지막 pf) 두번째줄의 우변이 좀 이상한거 같애요. h→0+ 가 t→-0으로 바뀌어야되는거 아닌가요? 네번째줄도.

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수교과 학생 · 357512 · 13/04/22 00:24 · MS 2010

헉 미처 수정하지 못한 부분이네요....지적 감사합니다....
그리고 저는 한글2010에서 수식 입력기로 글 씁니다 ㅎㅎ

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Katharsis · 416465 · 13/04/22 00:22

감사합니다. 그런데 수학 공부하다 이런 Case 보면 극단적인 짜증이 나는 건 저뿐인가요....;;;;

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수교과 학생 · 357512 · 13/04/22 00:25 · MS 2010

짜증나는 건 당연한 듯 ㅋㅋㅋ....좀 당연하다시피 넘어가고 싶은 내용에 일일이 태클 걸리면서 엄밀하게 파고 들어가면
머리 아프죠 ㅠㅠ...

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in709 · 408186 · 13/04/22 00:40 · MS 2012

올ㅋ!

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단대치14학번 · 440037 · 13/04/22 00:52 · MS 2017

흔히 빠지는 오류 정리 해주셔서 감사합니다.

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아기나라 · 16293 · 13/04/22 04:57 · MS 2003

결론에서 미분가능하다라는 조건이 명시되어 있으면
도함수의 연속성과는 별개로 미분계수의 정의를 쓰지 않고 g'(a)=h'(a) 라고 생각해서 풀어도 무방하다라고 하셨는데,
f(x)=x^2sin(1/x)도 결국에는 전 구간(x=0 포함)에서 미분가능하다고 전제되어 있는 것 아닌가요?

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지행합일 · 408711 · 13/05/04 10:47 · MS 2012

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

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아기나라 · 16293 · 13/04/22 05:03 · MS 2003

다시 말하자면, 가장 처음에 제시한 명제가 거짓이고 그 반례가 존재하는 이유가
미분계수는 존재하지만 도함수가 불연속인 함수가 있기 때문 아닌가요?
도함수가 전 구간에서 연속인 상태에서 저 명제가 거짓인 경우(반례)가 있나요?
만약에 없다면, 밑에서 예를 들어준 문제도 도함수가 전구간에서 연속이기 때문에
미분계수의 정의에 의한 계산이 아닌 도함수의 극한값으로 미분계수를 대신 구한다고 설명하면 오류가 있는지 지적바랍니다.

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지행합일 · 408711 · 13/05/04 10:53 · MS 2012

도함수가 전구간에서 연속일때는 처음에 제시한명제가 항상 참인듯.
그래서 미분계수랑 도함수의 극한이랑 같기때문에 그냥 대놓고 쓰라는소리같은데요.

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truedoor · 411745 · 13/04/22 11:43 · MS 2012

처음보여주신식에서 간단히 도함수가 연속이냐 아니냐의 물음으로 치환가능한것 아닌가요?

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truedoor · 411745 · 13/04/22 11:47 · MS 2012

질문이 있는데 불연속인 함수도 정적분이나 부정적분이 가능하다고 들었는데 고교과정에서 불연속인함수에 관한 적분문제가 포함되는지 궁금합니다...

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riririku · 412696 · 13/04/22 15:48 · MS 2012

원래는 안 된다네요. 구간을 나누어서 하면 다시 그 구간내에서는 연속이기 때문에 적분은 가능하지만요. 충분히 구간을 적당히 나누어서 하는 문젠 나올 수 있다고는 생각합니다. 극단적으로 f(x)=1(x가 유리수) or 0(x가 무리수) 이런 건 기존 우리가 알던 빙식으론 불가능하기에,..

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biofilesis · 439151 · 13/04/22 20:23 · MS 2012

그함수요 적분불가능합니다. 리만적분을 배우시면 왜그런지알수있어요 ㅇㅅㅇ

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코난샘 · 389356 · 13/04/22 16:20 · MS 2011

모르면 교과서를 찾아 보세요~~ ^^ 교과서에 나와 있어요..
피적분함수가 연속임을 전제로 합니다..(고등과정에서는)

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biofilesis · 439151 · 13/04/22 20:18 · MS 2012

그리고 대학때는 유한개의 점에서 불연속인거 허용하죠? 리만적분정의하면서요 ㅎ

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truedoor · 411745 · 13/04/22 20:29 · MS 2012

배울땐 피적분함수가 연속이라 배웠느데 한참 친구들끼리 수학얘기할때 그냥 얼핏 얘기하던게 리만적분얘기였나보군요ㄷㄷ 어디서배웠길래;;

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biofilesis · 439151 · 13/04/22 22:39 · MS 2012

전 대학교 일학년학생입니다ㅎ 중간고사 시험범위에요 ㅎ

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코난샘 · 389356 · 13/04/23 00:29 · MS 2011

네~~ 유한개의 불연속 점이 있는 경우도 적분가능하죠...

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biofilesis · 439151 · 13/04/22 20:24 · MS 2012

truedoor님 네 유한개의 점에서 불연속이고 위로나 아래로 유계하면 정적분이 리만합에 의해 가능합니다 ㅎ

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얀기르 · 440627 · 13/04/22 21:49 · MS 2013

좋은글 이네요 중간고사때 저런 오개념을 갖고있어서 하나 나갔죠..
제가 이 글을 좀만 빨리 봤다면 ㅠㅠ

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Trailblazer · 383571 · 13/04/22 22:49 · MS 2011

그러니까 원함수가 미분가능하다면 도함수가 연속함수일 수도 있고, 아니면 빵꾸 뚫린 함수, 그러니까 연속은 아니지만 극한값은 존재하는 함수일 수도 있다는 얘기인가요?

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가코 · 411432 · 13/04/23 08:22 · MS 2018

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

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가코 · 411432 · 13/04/23 08:25 · MS 2018

어떤함수가 미분가능하면 원함수는 연속.
어떤함수가 미분가능하다고 도함수가 연속임을
보장할 수는 없습니다. 하지만 도함수가 불연속함수라 하더라도
빵꾸뚫린 불연속함수형태는 나올수는 없고 sin1/x와 같은 형태의 불연속함수만 나옵니다.

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독진 · 368000 · 13/04/22 23:50 · MS 2011

이창무T가 생각난다.

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oiler124 · 409562 · 13/04/23 00:58 · MS 2012

좌변=중변 이 맞는 명제이고, 좌변=중변이 우변과 같은지는 별개의 문제인거죠.

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ems12 · 415128 · 13/04/23 21:27 · MS 2012

오타가 있네요.. f(x)=x^2 sin(1/x)를 가지고 반례를 들은 부분의 네번째 줄
"x=0에서도 가능하다. 따라서 f'(x)는 실수 전체에서 미분가능하다"
라고 하셨는데
f'(x)가 아니라 f(x)로 쓰여야 맞을것 같아요. f'(x)는 x=0에서 연속조차 만족하지 못하는데 f'(x)가 실수전체에서 미분가능할 수 없죠.

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공부야 놀자 · 420374 · 13/04/23 23:53 · MS 2012

오타 맞나요?
문과인데 이 부분 보고 순간 멘붕.ㅠㅠ

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빰약수재 · 443113 · 13/04/24 08:21 · MS 2013

으으 아는거같은데 모르는거같기도하고 ....첫번째 도함수연속과 미분가능성의차이는 이해했는데 ....
두번째문제에 미분가능하도록 만들라고했을땐 좌우도함수의 극한값을 이용해도되는이유가 .....?이해가안되네요

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오른팔 · 441011 · 13/04/24 10:58 · MS 2013

으
...;;저도그부분멘붕 ㅡㅜ정의를다시살펴봐야겟으요..

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김치번개 · 409762 · 13/04/27 20:19 · MS 2012

http://joy3x94.blog.me/70166533165

제 블로그 글인데 뭐 거의 같은내용이지만 좀~더 자세한 설명이 있으니 함 읽어보세요 ㅋㅋ

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김치번개 · 409762 · 13/04/27 20:19 · MS 2012

http://joy3x94.blog.me/70166533165

제 블로그 글인데 뭐 거의 같은내용이지만 좀~더 자세한 설명이 있으니 함 읽어보세요 ㅋㅋ

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박햇살 · 422706 · 13/04/25 00:08

........문과랑도 연관있나요?

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skkud · 404121 · 13/05/12 04:44 · MS 2012

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

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이별명도 있을까 · 446228 · 13/07/08 20:31 · MS 2013

이해가 잘 안되는데;;;;
둘다 미분가능한 함수인데 어쨰서 차이가 나는거죠?

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