허를 찌르는(?) 고1 수학 킬러
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예전에 본고사 공부하다가 인상깊었던 아이디어 바탕으로 내봤습니다(이땐 복소함수론의 기초를 고등학교 교육과정에서 다루던 정신나간 시절이긴 하지만ㅋㅋ)
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응? 실수가 아니면 부등식에 넣으면 안될텐데요... ㄷㄷ
실수가 아니다 -> 부등식에 넣으면 안 된다
이 명제의 대우를 생각해보시면..
네 그러니까 그냥 그렇게 풀면 되는거 아니냐는 뜻이었... 말을 좀 오해가게 썼군요 ㅋㅋ
z=a+bi(b=/=0)이므로 z+1/z=(a+a/(a^2+b^2))+(b-b/(a^2+b^2))i>=1이므로 a^2+b^2=1, a>=1/2이 성립한다.(단, a,b는 실수)
(a+sqrt3b)^2<=(1^2+3)(a^2+b^2)=4에서 a+sqrt3b<=2
a>=1/2 조건까지 쓸 수 있는 문제였으면 더 좋았을 텐데 아쉽네요.
코시-슈바르츠 부등식에서 등호 조건 성립 여부를 알 수 있나요??
저 경우에는 1/a=sqrt3/b일 때겠죠. 애초에 저 부등식이 (sqrt3×a-b)^2>=0에서 유도된 거니까요.
사실 정답이 경계값(a=1/2)에서 나오도록 의도하긴 했습니다ㅋㅋ 님처럼 아예 해석적으로 푸는것도 편하겠네요
복소평면을 그려보자. 부등식이 성립하려면 z+1/z는 실수여야 한다. z와 1/z는 편각이 반대이므로 허수부분의 크기가 같으려면 둘은 단위원 위에 있다. 이때 더해서 크기가 1 이상이려면 z의 실수부분은 1/2이상이므로 z의 편각은 -60~60도 사이다. a+sqrt(3)b를 편각 60도인 선분과의 내적으로 해석하자. 최댓값은 z의 편각이 60도일때이다. 계산하면 답은 2
씹갓
노예님 풀이에서 코시-슈바르츠 부등식의 등호 성립 조건이 두 벡터가 평행할 때라는 것을 생각해 보면 본질적으로 같은 풀이네요
이렇게 푸는 건가요?
사실 a가 0.5로 고정되는게 아니고 [0.5, 1)의 범위를 가지긴 합니다. z=a+bi라는 식을 z+1/z에 그대로 대입하셔서 a, b에 관한 관계식을 얻는 풀이를 의도했습니당