1/x 적분질문이요
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함수1/x에서 x가 양의무한일때 함수값은0으로수렴하잖아요
근데x가 무한일때 적분값은 구할수없어요?
수열에서도 0으로 수렴하는 수열의 합은 존재한다고 되잇는데
적분이 작은 조각들의 넓이의 합이니까 조각이 0으로수렴하믄 합을 구할수잇어야되는거 아닌가요?
구분구적법으로 구할때 1/x도 x가 무한대로가믄 넓이의1/n조각인 함수값x밑변(1/n)이 0으로 수렴하지않아요??
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원하시는 답인지는 모르겠지만 ㅠㅠ ... n이 무한대일 때 시그마 k=1에서 n까지 k분의 1, 즉 1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+......+(1/n)은 수렴이 아닌 발산을 합니다.
다음과 같이 증명할 수 있습니다.
1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+(1/5)+(1/6)+(1/7)+(1/8)+......+(1/n) > 1+(1/2)+(1/4)+(1/4)+(1/8)+(1/8)+(1/8)+(1/8)+....... = 1+(1/2)+(1/2)+(1/2)+.....(발산)
부등호 오른쪽의 값이 발산하기 때문에 자연스럽게 왼쪽의 합도 발산하게 됩니다.
구분구적법에서 (1/n) x (1/n) (n으로나눈 밑변 x n번째함수값=높이)니까 n번째 작은한조각의 넓이는 n제곱분의 1이되지않나요? 그때도 저 급수가 발산하나요?
별거아닌데 너무궁금해서ㅎ
감사합니다
잘못생각하시는 부분이 있네요.. 1/n 등분해서 k번째 함수값이 높이가 되니깐 (1 / n)*(1 / k) 이여야지요.
n제곱분의 1 합의 급수는 수렴합니다. 정확한 값이 6분의 파이(...)였던 걸로 기억하네요.
적분중에 이상적분이라고 하는것이 있습니다..
1/x를 무한대까지 적분을 할때에는 1/x를 a부터 k까지의 적분값을 구한후, k를 극한값을 취해서 무한대로 보내버리면 됩니다.
1/x의 a부터 k까지 적분을 해보면 lnk-lna이고 여기서 k를 무한대로 보내면 lnk-lna는 무한대로 발산해버리므로
1/x의 무한때까지의 적분값은 존재하지 않습니다.
대학 교과과정인 적분 판정법으로 쉽게 증명 할 수 있습니다.
증명은 생략하고 결론만 말하자면 1/x 의 무한급수는 발산합니다.
일반화 하면 무한급수 1/(x)^n에서, n이 1보다 작거나 같으면 발산, 1보다 크면 수렴합니다.
이것을 P-급수 판정법이라고 말합니다.