이계도함수 질문.. 주위에 물어볼 사람이 없어성 ㅠㅠ
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이계도함수에서요
f'(x)가 증가함수면 f''(x) > 0이라고 하는데
어떤함수 f'(x)가 증가함수면 -> 그 도함수인 f''(x) >= 0 이지 않나요?
왜 등호가 빠지는지 궁금합니다..
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엄밀히생각해서 f''(x) 에서 >= 0 인데 >빠져도상관없으니깐 f''(x)=0 도 f'(x) 가 증가함수가되어야하는데 그렇지않으니까연
근데 한점만 f''(x) 가 0이면 성립하는듯
감사합니다~
엄밀히 말하면 틀린 이야기입니다만, 고등학교 레벨에서 괴악한 함수들을 다루지는 않으니 진실에서 그리 먼 이야기도 아닙니다.
일단 한 가지 생각해보실 것은, 질문하신 내용을 굳이 도함수와 이계도함수 사이의 내용으로 이해하실 필요는 없다는 겁니다. g(x) = f'(x)로 두면, 결국 질문은 g(x)가 미분가능하고 증가함수일 때 g'(x) > 0 인가 하는 질문으로 환원되지요.
물론 가장 무난한 답은 g'(x) ≥ 0 이고, 일반적으로 등호는 절대로 제거할 수 없습니다. g(x) = x³ 같은 경우만 봐도 원점에서 g'(x) = 3x² 이 0이 되며, 심지어 증가함수의 정의에 의하면 g(x) = 0 도 증가함수이기 때문에, 등호는 빠질 수 없지요. 하지만 우리가 만약 극단적인 예나 변태적인 반례들을 관심에 넣지 않는다고 하면, 좀 더 이 상황을 개선시킬 수 있다는 것입니다. 즉,
g(x)가 n차 이상의 다항함수이고 어떤 구간 [a, b]에서 증가함수이면 (단, n ≥ 1), g'(x)는 [a, b] 위에서 (최대 n-1개의 점을 제외하고) 항상 0보다 크다.
라는 말을 할 수 있는 겁니다. 이는 g'(x) = 0 을 만족시키는 점들의 개수를 확실하게 이야기할 수 있기 때문에 가능하지요.
감사합니다!!!!
감사합니다 ㅠㅠ