많은 수학 교재에 실린 오류?
게시글 주소: https://ys.orbi.kr/00011613220
'많은 수학 교재에 실린 오류' 라는 제목의 글이 두 개 보여 이 글을 씁니다.
[1] 치환적분을 할 때 일대일 대응 조건이 필요한가?
함수 f가 연속이고 함수 g의 도함수가 연속이라고 하겠습니다.
미적분의 기본정리에 의해 함수 f의 부정적분 F가 존재합니다.
따라서
와 같이 쓸 수 있습니다. 이 등식의 가장 오른쪽 부분을 다시 표현하면
입니다. 지금까지의 과정 중에 함수 g가 일대일 대응이어야 한다는 조건은 필요하지 않았습니다. 그러므로
와 같이 바꾸는 치환적분은 함수 g가 일대일 대응이 아니더라도 자유롭게 활용할 수 있습니다.
한편, 삼각치환법과 같이 x=h(t)로 치환하는 치환적분법
은 h가 일대일 대응일 때 쉽게 활용할 수 있습니다. 다만 이 경우에도 h가 반드시 일대일 대응이어야 하는 것은 아닙니다. h가 일대일 대응인 경우를 생각하는 것만으로도 충분할 뿐더러 그렇게 해야만 불필요한 고려 사항을 줄일 수 있기 때문에 그렇게 활용하는 것뿐입니다.
물론 어떤 분께서 지적하셨듯이 다변수 함수의 수준으로 가면 일대일 대응 관계가 있는 함수를 통해서만 치환적분을 쓰는 것이 맞습니다. 그렇지만 고등학교 수준에서 일변수 함수의 특성을 논하는 데에 굳이 직접적인 연관성도 없는 대학교 과정의 내용을 들먹일 필요는 없지요.
[2] 몫으로 정의된 함수의 극한값을 계산할 때
x가 a로 수렴할 때 lim f(x)=alpha, lim g(x)=beta 라고 하면
와 같은 조건을 쓸 때 g(x)가 0이 아니어야 한다는 조건은 없어도 됩니다. beta가 0이 아니라는 조건만 있으면 충분합니다.
x가 a로 수렴할 때 f(x)/g(x)의 극한값을 계산하기 위해서는 함수 f(x)/g(x)가 x=a 근방에서 정의되는 것만으로 충분하며, g(x)의 극한값이 존재하면서 0이 아니라는 사실이 x=a 근방에서 g(x)가 0이 될 수 없다는 것을 보장해주기 때문입니다.
못 믿겠다는 분들은 대학교 해석학 책
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, p.85
를 펼쳐보시기 바랍니다.
해석학의 대가 분께서 제 말이 틀리지 않았다는 것을 보여주실 겁니다.
물론 이 경우에도 g(x)가 0이 아니어야 한다는 조건을 추가한다고 '오류'가 생기는 것은 아닙니다
beta 가 0이 아니라는 조건만 있을 때에 비해 위의 성질을 적용할 수 있는 범위가 줄어드는 것뿐이죠.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
여기서 인농소가 인은 인문 광역 농은 농경제 소는 소비자인데 셋이 한묶음인 시대는...
-
미련 못버린 메디컬 못가는 N수생 있어서 그럼 27때는 ㅋㅋㅋ 진짜 메디컬 노리는애들만 남을듯
-
저희 학교 기준이긴한데 물지 화지 물화등등 얘네는 자존심 존나 쎄서 사탐같은거모름...
-
이해원 시즌2랑 문해전 시즌 2 둘중에 하나만 풀 수 잏다면 뭘 더 추천하시나요??
-
지망 학과가 인문계열 아니고 자연계열인데 사탐런 하시는 분들은 떼시기 바랍니다 이상.
-
메디컬 선호, 약대때문도 있겠지만 솔직히 그정도 누백부턴 n수생 증가보단 수험생...
-
ㄱㅁㄱㅁㄱㅁ 2
멈춰
-
1등급만 받으면돼서 50받으면됨 ㅠ
-
아니면 사탐의 안락사일까 아니면 물로켓일까
-
지금 기하튀 1
ㅇㄸ
-
물2 질답소 8
개인 프로필에 카톡 오픈방 주소를 걸어놓긴 했습니만 한 번 홍보해 봅니다. 주로...
-
8이뭐이리많아
-
생1 22나 23처럼 나와도 1컷 48 ㅇㅈㄹ 나는 건가 ㄷㄷㄷㄷ
-
편입질문 0
작년에 서울대 동물생명공학과? => 중대 약대(반수) => 연대 미래캠 의대(편입)...
-
올해는 0.7로 잡아도 될 듯 ㅇㅇ
-
원래 지금 시기에 하위권 과탐 과외 수요 개많았는데 체감 됨 ㅋㅋ 이제 하위권은...
-
공황성&우울증&적응장애 땜시 검사 받았더니 왠걸^^; ㅋㅋㅋ제 능지... 처리속도가...
-
오길 잘했다 0
경기 너무 재밌고 황인수 만나서 사진 찍음 ㅋㅋ 알아보는 사람 얼마 없어서 바로 찍었누
-
하셔도 좋습니다만 전 우선 공부 조언해줄 자격이 없고요. 그렇기 때문에 학습 칼럼도...
-
전 교육청에서 받을건데 혹시 몇시까지 가야되나요??
-
오리고기 먹고왔더니 살쪄써...
-
스위스 최고액 지폐=1000프랑 (150만원)
-
혹시 주변에 생1 하는 친구를 저에게 소개해주시고, 수업을 하게 될 경우 첫달...
-
아 개짜증난다 7
케이크 먹으려고 주문하는데 잘못 눌러서 이상한 거 주문했는데 너무 제 스타일이...
-
등급 올릴생각하니까 존내막막하네
-
세젤쉬 끝나고 워크북이랑 교재 문제 2회독 하면서 미친기분 시작편 하고 있는데 좀...
-
8월 초부터 4공법 본편 시작하면 시간이 부족할까요? 본편 빡세게 할지.. 컴팩트로...
-
1컷 88,89인 수학 통과 시험은 100,99 받고 1컷 99,98인 영어 사회는...
-
기분이 꿀꿀함
-
정답 5번이라는데 4번도 맞지 않나요..? 노자 도덕경 보면 4번이 맞는거같은데ㅜㅜ
-
미적분 난이도 : 6모보다 확실하게 어려움 1~10번까진 쉽습니다. 11번에서...
-
난 아직 안오는뎅
-
내일만 버티자 2
알바인생 끗끗
-
아 귀찮아 9
나가기도 귀찮네 하..
-
애들 연경 가겠지?
-
연고대 입결하락의 이유 12
가 뭐라고 생각함? 옛날엔 이거보단 높았던걸로 아는데
-
혹시 연대 물리학과 정시로 합격하신 분들 계신가요 보통 어느 정도면 합격하나요...
-
들어갔는데 소변기 있길래 후다닥 나왔는데 아무도 못봤겟지
-
나랑 dm 하던 사람들 왜 다 instagram 사용자로 바껴있냐 너무 슬프다.....
-
수학 커리질문 1
작년 수능 중도포기하고 이번년도 4월부터 재수 시작한 허수입니다.6모 4떴고...
-
현타좃대네 12
이제 그냥 좀 놀지도 말고 오르비도 좀 들어오지 말고 열심히 살아야지.. 진짜로
-
62 -> 60 역시 5시간 통학의 효과가...
-
기말끝나고 여름방학부터 정시로 돌리려는 고2인데 고2 안에 정확히는 고3 되기전에,...
-
6모 응시를 안해서 잘 모르는데 혹시 사탐런 영향이 느껴질 정도로 컷이 높게 잡혔나요?
-
계속 미지수나 조건들 '그' 로 지칭하는거 묘하게 터지네 "그렇ㅌ면! 엣프엨스 이꿜...
-
달렷다
-
뇌가 녹는 느낌
-
궁금함
해석학은 역시 루딘
깔끔하게 정리해주셔서 감사합니다!!
완전 감사합니다. 저도 그글을 보고 x=h(x)로 치환 할때 이게 일대일 대응이 아니면 어떻게 되는지 이해가 안되었는데 그냥 고등수준에서는 그냥 일대일 대응이여야 하구나 생각하고 넘어가도 된다는 말씀이시죠?
네 x=h(t)로 치환하는 적분에서는 실질적으로 일대일 대응인 함수를 고려하는 것만으로도 충분합니다.
감사합니다. 명확하게 이해가 되었어요. 근데 너무 많이 알면 독이되네요. 차라리 그 글을 보지도 않았다면 이런 찝찝함을 애초에 느끼지도 않았을텐데요
고등 과정에서 실질적으로 충분하다기 보단, 대학 수학에서도 일변수함수의 일대일 대응 조건은 전혀 필요 없다고 보시는게 정확한 표현입니다
물론 문제 풀때도 훨씬 편하구요.
뭐든지 정확히 알고, 교과서대로 공부하는것이 가장 정확하고 편합니다.
불필요한 고려사항을 줄이기 위해 그렇게 활용할 뿐이라는 말은 동의하기 힘드네요.
다변수함수의 경우 치환하는 함수가 가역함수여야 하는 조건이 붙습니다만, 일변수함수의 경우 전혀 요구되지 않는 조건입니다. 이 부분을 명확히 구분했어야 하는데 저자들이 혼동을 해서 벌어진 명확한 오류이구요, 용이성때문에 해당 조건을 부여한 것이라는 내용은 근거가 부족해 보이네요..
불필요한 조건이 붙는데 어떻게 문제풀이가 더 편해지죠?
다시한번 말씀드리지만 교과서에는 해당 조건 없이 명확히 증명되어 있고, 그 조건 없이 푸는게 훨씬 편할 때가 많습니다. 정확히 알고 문제를 푸세요.
어떤 이유에서 근거가 부족해보이시나요?
삼각치환법의 경우도 일대일 대응이 될 수 있게 삼각함수의 정의역을 제한하고 푸는 것이 생각할 거리가 훨씬 적습니다.
일대일 대응 조건이 없으면 풀 수 있는데 일대을 대응 조건을 붙이면 못 푸는 치환적분 문제가 있나요? x=h(t)로 치환하는 적분 문제 중에 말입니다.
이를태면 int-(0~2pi) cos^3 x sinx dx와 같은 경우를 생각해 보십시오. 일대일 대응 조건이 있어야 한다고 가정하고 문제를 푼다면 구간을 세 개로 나누어 풀어서 다 더해주어야 합니다. 이 조건이 필요없다는 것을 알고 있어야 문제 풀이가 훨씬 쉽습니다.
그리고 용이성은 차치하고, 해당 조건이 반드시 지켜져야 하는 조건인양 적혀 있다는 것은 결코 정당화될 수 없는 문제입니다. 백번 양보해서 저 조건으로 풀 때 훨씬 쉽다고 해 봅시다, 그렇다고 사족인 조건이 "~해야 한다" 의 꼴로 쓰여지는것이 정당화될 순 없는 것이죠.
제 말의 취지는 뭐든지 교과서대로, 그리고 정확히 알고 푸는것이 가장 올바르다는 것입니다. 이러한 맥락에서 저 조건이 대학 수학 내용에 대한 오해에서 비롯된 오류인 내용이라는 것을 명확히 할 필요가 있다는 것입니다.
용이성이 아닌 오류입니다.
이 경우는 위의 두 번째 경우에서와 같이 x=h(t)로 치환하는 것이 아니라
첫 번째 경우에서와 같이 g(t)=x 로 치환하는 것 아닌가요?
분명히 첫 번째 경우에는 함수 g가 일대일 대응이 아니더라도 자유롭게 활용할 수 있다고 명시했을텐데요.
본문을 먼저 제대로 읽고 답을 달아주시면 감사하겠습니다.
네, 제가 그 부분을 못봤네요.. 죄송합니다.
다변수함수일 때, 치환함수가 가역함수여야 한다는 얘기는 왜 하는지 의문입니다. 고등학교 과정이든 대학과정이든 논하고자 하는 바가 일변수함수에 대한 것인데, 다변수함수를 왜 끌고 들어오는지 모르겠네요. 애초에 메잘알님은 일변수 함수에서 그 조건이 불필요하다는 얘기를 하는 건데.
제 글의 요지는 이렇습니다.
일변수함수의 치환적분을 할 때, 어떤 함수를 하나의 변수로 치환하는 방법이 있고 어떤 변수를 다른 변수에 대한 함수로 치환하는 방법이 있는데, 전자는 일대일 대응이 아니더라도 자유롭게 활용할 수 있고 후자도 일대일 대응 조건이 반드시 필요한 것은 아니지만 후자의 경우 일대일 대응 조건을 거는 것만으로도 충분하고 그게 더 생각할 여지가 적다 라는 겁니다.
다변수함수 얘기는, 다른 글에서 누군가 다변수함수의 치환적분은 일대일 대응 조건 하에 쓰니 일변수함수도 그렇게 해야 한다 라는 논지로 주장을 펼치셔서 그에 대한 반박을 쓴 것입니다.
그나저나 둇네님은 글올리고 아직도 안나타나내요..
말도안되는 내용을 대학수학인 양 올리더니