닫힌 집합과 열린 집합의 엄밀한 정의
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이 정의는 임의의 거리공간(거리를 재는 방법이 주어진 공간)에서 쓸 수 있으나 편의상 예시를 2차원 좌표평면에서 서술한다.
먼저 근방을 정의하자.
근방은 어떤 점 p에 대해
이라고 할 수 있다. 이때 d(p,q)는 p와 q 사이의 거리를 나타낸다.
한마디로 p로부터의 거리가 r보다 작은 점들을 말한다. 2차원 좌표평면에서는 경계를 포함하지 않는 원의 형태가 될 것이다.
이제 열린 집합을 정의해보자.
먼저 집합 X에 대해, X 내부의 점 p를 잡자. 이때 만약
p의 근방
가 집합 X에 포함되도록 하는 0보다 큰 r이 존재하면 p를 집합 C의 내점(interior point)이라고 한다. 예를 들어 좌표평면위에 집합
내부의 점 (0,0)은 0<r<1인 모든 r에 대해
을 만족시키므로 내점이 된다.
이때, 집합 X의 모든 원소가 X의 내점이면 X를 열린집합이라고 한다.
닫힌 집합은 집합 S 에 대해 S의 여잡합이 열린 집합이면 S는 닫힌 집합이다. 라고 정의해도 되지만 열린 집합에 의존하지 않는 다른 정의를 알아보자.
임의의 점 p를 생각해보자. 만약 어떤 임의의 양수 ε>0을 잡아도
항상
을 만족시킨다면 p를 S의 집적점 (accumulation point)이라 한다. 이때 S의 모든 집적점을 모은 집합을 S의 도집합이라 하고 S'이라 쓴다.
또, S와 S' 의 합집합
를 S의 폐포(closure)라고 한다.
만약 S와 S의 폐포가 같다면 S를 닫힌 집합이라고 한다.
이거 읽고 한번에 이해하는 사람은 ㄹㅇ 천재임...
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덕코 감사합니다. .
천재 아니라 살았다
공대 탈출이 옳았다는 확신을 주는 글
공대는 이런 정의 필요 없음
수학과에서나 필요한 것
몰라…어려워요 응애
흥미롭군요
잘가다가 집적점 ㅇㅈㄹ할때부터 뭔 개소린지 알 수가 없네 ㅋㅋㅋㅋ
존내 어렵다... 문과최고
그래도 거기까지 이해 했으면 머리 좋은거임 ㅋㅋ
집적점은 대충 어떤 점 p 주변에 항상 S의 다른 원소가 존재한다는 뜻임.
예를 들어 글에서 예시로 든 집합에서
(1,0)은 항상 바로 왼쪽에 다른 원소가 있잖음
그러면 집적점인거임
하지만, 아까 그 집합에 (2,0)이라는 다른 점 하나를 추가한다면
이 점은 주변에 아무것도 없잖음
그러면 고립점이라고 함
저런거 재밌으면 수학과가 답인가요
그쵸 ㅋㅋㅋ
수학과 가면 이런게 일상일걸요
공대는 저런거 안하고 활용만 하나요?
그쵸 할 이유 없슴다